专题03 用空间向量研究空间位置关系、夹角问题（七大题型）-2023-2024学年高二数学《重难点题型•高分突破》（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 用空间向量研究空间位置关系、夹角问题 题型1：平面法向量的概念及辨析 1．已知平面平面，是平面的一个法向量，则下列向量是平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 2．已知平面α内两向量，且.若为平面α的法向量，则m，n的值分别为（　　） A．-1，2 B．1，-2 C．1，2 D．-1，-2 3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．4 4．已知，则平面的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 5．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面的所成的角等于（    ） A． B． C． D．以上均错 6．有三个给定的经过原点的平面，过原点作第四个平面，使之与给定的三个平面形成的三个二面角均相等，则这样的的个数是（    ） A．0 B．1 C．4 D．以上答案都不对 题型2：求平面的法向量 7．已知，，，则平面的一个法向量是 ． 8．已知直线的一个方向向量为，且过点．若平面过直线与点，则平面的一个法向量是 ． 9．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：平面BHD的一个法向量 ； 10．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形．在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF．以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，则平面CDF的一个法向量 ． 题型3：利用空间向量解决线线、线面关系及夹角 11．在正四棱柱中，，，E在线段上，且.    (1)求证：平面DBE； (2)求直线与平面DBE所成角的正弦值. 12．如图所示，在直四棱柱中，，，，，. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 13．如图，已知在四面体中，，，.、分别为、中点.    (1)证明：直线为、的公垂线； (2)求空间内任一点到四面体四个顶点距离和的最小值. 14．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．    (1)求证：； (2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值； (3)线段PA上是否存在点E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，图1，四棱锥中，底面，面是直角梯形，M为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点N，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点N，并求的长；若不存在，说明理由． 题型4：利用空间向量解决线面、面面关系及夹角 16．如图，在正方体中，    求证： (1)求AC与所成角的大小； (2)平面平面； (3)平面． 17．如图，三棱锥中，平面，线段的中点为，，且.    (1)证明：平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 18．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 19．如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．      (1)证明：平面平面PBC； (2)当时，求二面角的余弦值． 20．如图，三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，且，，，平面平面，点是的中点.    (1)证明：平面平面； (2)点是圆上的一点，且点与点位于直径的两侧.当平面时，画出二面角的平面角，并求出它的余弦值. 21．如图，将三棱锥的侧棱放到平面内，，，，，平面平面.    (1)证明：平面⊥平面； (2)若，平面与平面夹角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值. 22．如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形，,分别为上的点,且.    (1)若,求证:平面; (2)若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值. 23．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上．    (1)当为棱中点时，求证：； (2)当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值． 24．如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，M在上，且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线与所成角为，求的长． 题型5：已知二面角求其他 25．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，，.    (1)证明：平面平面ABCD； (2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，求直线PD与底面ABCD所成角的正切值. 26．如图