专题04 用空间向量研究空间距离问题（八大题型）-2023-2024学年高二数学《重难点题型•高分突破》（人教A版2019选择性必修第一册）

专题04 用空间向量研究空间距离问题 题型1：点到直线的距离 1．已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为 . 2．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 题型2：点到平面的距离 4．如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，.    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 5．如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 6．如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，， .     (1)求直线与平面的夹角； (2)求点到平面的距离. 7．已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，,，平面平面，为棱上一点（不与重合），平面交棱于点.    (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 9．已知四棱锥，底面是菱形，，平面，，点满足.        (1)求二面角的平面角的余弦值； (2)若棱上一点到平面的距离为，试确定点的位置. 10．在空间直角坐标系中，已知， ，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平直BCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 题型3：异面直线的距离 11．在四棱锥中，面，底面为矩形，，，为中点，则异面直线与之间的距离为 . 12．两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为 ． 13．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 14．如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与之间的距离． 题型4：平行平面的距离 15．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 A． B． C． D． 16．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 17．直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 18．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求： (1)直线与平面的距离； (2)平面与平面的距离． 题型5：最值问题 19．如图，在正四棱锥中，PA＝AB＝1，点Q，R分别在棱AB，PC上运动，当QR取得最小值时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 20．在正方体中，E为的中点，过E的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点．    (1)已知点在棱BC上，且，若用平面，求； (2)若，求点D到平面AEF的最大距离． 21．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 22．在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面平面，活动弹子分别在正方形对角线，上移动，则长度的最小值是 ． 题型6：折叠、动点问题 23．如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点，则线段PQ的最小值为 .    24．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.    (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 题型7：存在性问题 25．如图，设正方体的棱长为为线段的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A．当为的中点时，点到平面的距离为 B．当为的中点时，记与平面的交点为，则 C．存在，使得异面直线与所成的角为 D．存在，使得点到直线的距离为 26．如图所示，在矩形中，，，平面，且，点为线段（除端点外）上的动点，沿直线将翻折到，则下列说法中正确的是（    ） A．当点固定在线段的某位置时，点的运动轨迹为球面 B．存在点，使平面 C．点到平面的距离为 D．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 题型8：综合性问题 27．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）． ①当点P