专题1.3 用空间向量研究直线、平面位置关系-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.3用空间向量研究直线、平面位置关系 知识点一 空间点、直线、平面的向量表示 1直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． 2.空间直线的向量表示： 3.空间平面ABC的向量表示 4.平面的法向量及其确定 （1）直线l⊥α,取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 （2）平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 知识点二 空间中直线、平面的平行关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. ②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. ③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. ④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2. 知识点三 空间中直线、平面的垂直关系 1. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. ②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u. ③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2.共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)． 考点01 空间点、直线、平面的向量表示 【典例1】（2022秋·高二单元测试）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【典例2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知点，都在直线上，写出一个直线的方向向量： . 【典例3】已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足＝＋＋，则点M________(填“属于”或“不属于”)平面ABC. 考点02 平面的法向量的确定 【典例4】（2023·全国·高一专题练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 【典例5】（2022·高二课时练习）已知，，，则平面的一个法向量是 ． 【总结提升】 1.写出平面内两向量的坐标； 2.设出法向量； 3.根据数量积为零列出方程组； 4.解方程组，求出一个法向量 考点03 空间直线、平面的平行关系的证明 【典例6】（2023春·高二课时练习）如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在上，且，，求证：平面. 【典例7】（2023春·高二课时练习）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面. 【总结提升】 利用向量证明平行问题 ①线线平行：方向向量平行． ②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直． ③面面平行：两平面的法向量平行． 考点04 根据空间平行关系求参数 【典例8】（2023秋·高二课时练习）设平面的法向量的坐标为，平面的法向量的坐标为.若，则等于（ 　 ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【典例9】（2021秋·上海浦东新·高二上海师大附中校考期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且直线与平面平行，则实数 ． 【总结提升】 1.如果线线平行，根据方向向量平行，建立方程． 2.如果线面平行，根据平面外的直线方向向量与平面法向量垂直，建立方程组． 3.如果面面平行，根据两平面的法向量平行，建立方程组． 考点05 空间中直线、平面垂直关系的证明 【典例10】（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．    【典例11】（2022·高二课时练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【典例12】（2023春·江苏·高二阶段练习）如图，在四棱锥中，面，在四边形中，，点在上，.求证： (1)CM面； (2)面面. 【总结提升】 利用向量法证垂直问题的类型及常用方法 （1）线线垂直问题：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 （2）线面垂直问题：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直 （3