第23章 专项6 旋转中常见的几何模型（word练习）-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测（人教版）

手拉手模型　　 (广东广州越秀期中)如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F. (1)求证：△ABD≌△CBE； (2)求∠AFC的度数． 如图，△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°. (1)BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ (2)连接AO，试判断∠AOD与∠AOE的大小关系，并说明理由． 半角模型　　 (南平期中)如图，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM. (1)求证：EF＝MF； (2)当AE＝1时，求EF的长． (北京海淀区模拟)在正方形ABCD中，E是CD边上一点． (1)将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图①所示，观察可知，与DE相等的线段是________，与∠AFB相等的角是________； (2)如图②，在正方形ABCD中，P，Q分别是BC，CD边上的点，且∠PAQ＝45°，猜想线段DQ，BP，PQ的数量关系，并证明； (3)在图②中，连接BD分别交AP，AQ于点M，N，请写出BM，DN，MN的数量关系，并说明理由． 　 ①　　 　　② 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项6　旋转中常见的几何模型 1．(1)证明：∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE， ∴∠ABC＝∠DBE＝40°，∠ABD＝∠CBE＝100°， AB＝DB，CB＝EB. 又∵BA＝BC，∴AB＝BC＝BD＝BE. 在△ABD与△CBE中， ∴△ABD≌△CBE(SAS). (2)解：∵∠ABD＝∠CBE＝100°，BA＝BC＝BD＝BE， ∴∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝40°. ∵∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝140°， ∴∠AFE＝360°－∠ABE－∠BAD－∠BEC＝140°， ∴∠AFC＝180°－∠AFE＝40°. 2．解：(1)BE＝DC，BE⊥DC.理由： ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC. ∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC， 即∠DAC＝∠BAE， ∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°后会与△ADC完全重合，即△ABE≌△ADC， ∴BE＝DC，∠ABE＝∠ADC. 又∵∠BFO＝∠DFA，∠ADF＋∠DFA＝90°， ∴∠ABE＋∠BFO＝90°， ∴∠BOF＝90°，即BE⊥DC. (2)∠AOD＝∠AOE.理由： 如答图，作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N. ∵△ABE≌△ADC，∴S△ABE＝S△ACD， ∴DC·AM＝BE·AN. 又∵DC＝BE，∴AM＝AN. ∵AM⊥DC，AN⊥BE，∴∠AOD＝∠AOE. 3．(1)证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°，F，C，M三点共线． ∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝45°， ∴∠EDF＝∠FDM. 在△DEF和△DMF中， ∴△DEF≌△DMF(SAS)，∴EF＝MF. (2)解：设EF＝MF＝x. ∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3， ∴EB＝AB－AE＝2，BM＝BC＋CM＝4， ∴BF＝BM－MF＝4－x. 在Rt△EBF中，EB2＋BF2＝EF2， ∴22＋(4－x)2＝x2，解得x＝. 故EF的长为. 4．解：(1)BF　∠AED (2)DQ＋BP＝PQ.证明如下： 如答图①，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，则∠D＝∠ABE＝90°. ∵∠ABP＝90°，∴∠ABE＋∠ABP＝180°， ∴点E，B，P共线． 由旋转的性质，知∠EAQ＝∠BAD＝90°，AE＝AQ，BE＝DQ. ∵∠PAQ＝45°，∴∠PAE＝45°， ∴∠PAQ＝∠PAE. 在△APE和△APQ中， ∴△APE≌△APQ(SAS)，∴PE＝PQ， ∴PE＝PB＋BE＝PB＋DQ， ∴DQ＋BP＝PQ. ①　　 ② (3)BM2＋DN2＝MN2.理由如下： 如答图②，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABK，连接KM. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°. 由旋转的性质，得∠NAK＝90°，∠ABK＝∠ADN＝45°，BK＝DN，AK＝AN. ∵∠PAQ＝45°，∴∠MAK＝45°， ∴∠PAQ＝∠MAK. 在△AMN和△AMK中， ∴△AMN≌△AMK(SAS)，∴MN＝MK. ∵∠MBA＋∠KBA＝90°， ∴△BMK为直角三角形， ∴BK2＋BM2＝MK2，∴BM2＋DN2＝MN2. 学科