第23章 专项5 利用旋转进行相关计算（word练习）-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测（人教版）

利用旋转求角度或线段长　　 (武汉武昌区期中)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是(　　) A．50° B．70° C．110° D．120° (辽宁铁岭质检)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，连接A′B.若点A′，B，A在同一条直线上，则AA′的长为(　　) A． B．2 C．3 D．3 如图，在等边三角形ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，连接DE. (1)求证：AD＝DE； (2)求∠DCE的度数； (3)若BD＝1，求AD，CD的长． 利用旋转求面积　　 (一题多解)如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，点D在AC上，AD＝3，CD＝2，连接BD，把线段BD绕点D逆时针旋转90°到DE的位置，连接AE，CE，则△ACE的面积为(　　) A．4 B．5 C．6 D．10 (滨州中考)如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A，B，C的距离分别为2，，4，则正方形ABCD的面积为________. 利用旋转添加辅助线　　 (泰州期中)如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值为(　　) A．3 B．3＋ C．3 D．3＋ 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠APC＝165°，PA＝3，PC＝，求PB的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项5　利用旋转进行相关计算 1．D　[解析]∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝90°－40°＝50°.由旋转的性质，得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，∴∠BAA′＝∠BA′A＝×(180°－40°)＝70°，∴∠CAA′＝∠CAB＋∠BAA′＝50°＋70°＝120°. 2．D　[解析]在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2.由旋转知，A′C＝AC.∵点A′，B，A在同一条直线上，∴∠AA′C＝∠A＝30°.∵∠ABC＝90°－∠A＝60°，∴∠A′CB＝∠ABC－∠CA′A＝30°，∴∠A′CB＝∠CA′A，∴A′B＝BC＝1，AA′＝A′B＋AB＝3，故选D. 3．(1)证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE， ∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE. (2)解：由旋转的性质，得∠AEC＝∠ADB＝120°. ∵∠ADC＝90°，∠DAE＝60°， ∴∠DCE＝360°－∠ADC－∠AEC－∠DAE＝90°. (3)解：∵△ADE为等边三角形， ∴∠ADE＝60°， ∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝30°. 又∵∠DCE＝90°，∴DE＝2CE＝2BD＝2， ∴AD＝DE＝2， CD＝＝＝. 4．B　[解析]解法一：如答图①，将△DCB绕点D逆时针旋转90°得到△DFE，则∠FDC＝90°，DF＝CD＝2，∠EFD＝∠ACB＝90°，∴∠EFD＋∠FDC＝180°，∴EF∥CD，∴S△ACE＝×AC×DF＝×(3＋2)×2＝5. 解法二：如答图②，过点E作EF⊥AC，交AC的延长线于点F.由旋转的性质，得DE＝BD，∠BDE＝90°，∴∠EDF＋∠BDC＝∠DBC＋∠BDC，∴∠EDF＝∠DBC.又∵∠EFD＝∠DCB＝90°，DE＝BD，∴△EDF≌△DBC，∴EF＝CD＝2，∴S△ACE＝×AC×EF＝×(3＋2)×2＝5. ① ② 5．14＋4　[解析]如答图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于点H.∵BP＝BM＝，∠PBM＝90°，∴PM＝＝2.∵PC＝4，CM＝PA＝2，∴PC2＝CM2＋PM2，∴∠PMC＝90°.∵∠BPM＝∠BMP＝45°，∴∠CMB＝∠APB＝135°，∴∠APB＋∠BPM＝180°，∴A，P，M三点共线．∵BH⊥PM，∴PH＝HM，∴BH＝PH＝HM＝1，∴AH＝2＋1，∴AB2＝AH2＋BH2＝(2＋1)2＋12＝14＋4，∴正方形ABCD的面积为14＋4. 6．A　[解析]如答图，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，连接PF，EC.由旋转的性质可知，BF＝BP，∠FBP＝60°，∴△PBF是等边三角形， ∴PB＝PF.∵PA＝EF，∴PA＋PB＋PC＝EF＋PF＋PC.∵EF＋PF＋PC≥EC，∴