6.3.1平面向量基本定理教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

主备人 欧阳佳佳 年级 高一 活动时间 2023年 2月27日 活动地点 高一年级备课室 课题 6.3.1平面向量基本定理 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 6.3.5 平面向量数量积运算的坐标表示 课时 5课时 参与研讨人员 高芳芳，汤超男，欧阳佳佳，胡媛 课题 6.3.1平面向量基本定理 教学目标 （一）知识与技能 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义； 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量。 （二）过程与方法 1.通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力； 2.通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。 （三）情感、态度与价值观 用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神， 发展学生的数学应用意识。 教学重、 难点 教学重点：理解并掌握平面向量基本定理。 教学难点：平面向量基本定理的应用。 教学方法 讲授法、讨论法、提问法 课型 新授课 教学过程 （一）创设情境，引入新课 预习教材P25－P27的内容，思考以下问题： 1．基底中两个向量可以共线吗？ 2．平面向量基本定理的内容是什么？ （二）探索新知，整体认知 1．平面向量基本定理的理解 例1：设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2． 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________（写出满足条件的序号）． 解析：①设e1＋e2＝λe1，则无解， 所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底． ②设e1－2e2＝λ（e2－2e1），则（1＋2λ）e1－（2＋λ）e2＝0， 则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底． ③因为e1－2e2＝－（4e2－2e1）， 所以e1－2e2与4e2－2e1共线， 即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底． ④设e1＋e2＝λ（e1－e2），则（1－λ）e1＋（1＋λ）e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底． 答案：③ 规律方法： 对基底的理解 （1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则 不能作基底，反之，则可作基底． （2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样． 2．用基底表示平面向量 例2：如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，． 解：＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋＝a－b． ＝＋＋ ＝－＋＋＝b－a． 互动探究 （1）变问法：本例条件不变，试用基底{a，b}表示． 解：由平面几何知识知BG＝BF， 故＝＋＝＋ ＝a＋ ＝a＋b－a＝a＋b． （2）[变条件]若将本例中的向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，． 解：＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a． ＝＋＝2＋ ＝－2＋＝－2a＋b． 规律方法： 用基底表示向量的两种方法 （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． （2）通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． （三）初步应用，理论迁移 3．平面向量基本定理的应用 例3：如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN． 解：设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2． 因为A，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2． 故＝＋＝－＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2． 而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理， 得 解得 所以＝，＝， 所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2． 互动探究 1．变问法：在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示． 解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则＝， ＝＋＝＋＝b＋（－） ＝b＋a－b＝b＋a． 2．变条件：若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN． 分析：直接利用基底表