重难点04全等三角形中“手拉手”模型-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

重难点04全等三角形中“手拉手”模型 【知识梳理】 【基本模型】 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 【考点剖析】 例1.某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC． （1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）试说明：DC与BE的位置关系． 【变式1】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. 【变式2】如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°． （1）求证：AC＝BD． （2）求∠APB的度数． 【变式3】已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP， ⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP； ⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？ 【变式4】（2023•定西模拟）（1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． 填空：①∠AEB的度数为　　 ； ②线段AD，BE之间的数量关系为　 　 ． （2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． 【变式5】阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置． 操作与证明： （1）操作：固定等边△ABC，将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系． （2）操作：若将图1中的△BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论． 猜想与发现： （3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论． 【过关检测】 一．选择题（共1小题） 1．（2021秋•普陀区期末）如图，AB＝3，AC＝，连结BC，分别以AC、BC为直角边作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，连结AE、BD，当AE最长时，BC的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 二．填空题（共3小题） 2．（2022秋•椒江区校级月考）如图，△ADB≌△ECB，且点A的对应点是点E，点D的对应点是点C，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为 　 　． 3．（2022秋•上城区校级期中）如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F，延长AD至点G，若GE平分∠DGC，CE平分∠DCH，则下列结论：①∠ABE＝∠ACF；②∠GEB＝45°；③EO＝EC；④AE﹣CE＝BF；⑤AG﹣CG＝BC，其中正确的结论有 　 　（写序号）． 4．（2020秋•金东区校级月考）等边三角形ABC和等边三角形ADE的位置如图所示，若∠1＝25°，则∠2的度数为 　 　． 三．解答题（共13小题） 5．（2021秋•临海市月考）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：AE＝CD； （2）证明：∠1＝∠3． 6．如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD．聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！ （探究一）如图2，当B、C、E三点不在同一条直线上时，小明发现∠BFE的大小没有发生变化，请你帮他求出∠BFE的度数． （探究二）阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等．例如：如图3，如果△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的边BC、B′C′上的高，那么容易证明AD＝A′D′．小明带着这样的思考又有了新的发现：如图4，若连接CF，则CF平分∠BFE，请你帮他说明理由． （探究三）在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段A