4.2 指数函数-【初升高暑假衔接】2023-2024学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

4.2　指数函数 【知识梳理】 知识点一　指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点二　指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 知识点三　解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 知识点四　指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 【基础自测】 1．若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　) A．a＝1或－1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a>0且a≠1 2．函数y＝的定义域是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 3．若且，则函数的图像恒过的定点的坐标为______． 4．已知f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象如图，则f(3)＝________. 5．函数的定义域是____________，值域是____________． 【例题详解】 一、指数函数的概念 例1　(1)（多选）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 (2)下列函数中是指数函数的是_________.(填序号). ①；②；③；④；⑤；⑥. 跟踪训练1　(1)（多选）下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． (2)若p：函数是指数函数，，则q是p的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 二、求指数函数的解析式、函数值 例2　(1)设函数满足，则 （    ） A． B．3 C． D． (2)已知指数函数的图象经过点，则______． 跟踪训练2　(1)已知函数，则的值是（    ） A． B． C． D．2 (2)已知，则f（3）等于（    ） A． B．- C． D． (3)已知指数函数，求. 三、指数函数的图象及应用 例3　(1)函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， (2)若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（    ） A．2 B． C． D． (3)函数（且）的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． (4)（多选）已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3　(1)函数（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． (2)已知函数且，则下列结论中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． (3)已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 四、指数型函数的定义域和值域 例4　(1)函数的定义域是________． (2)函数在上的最小值为___________. (3)函数在区间［-1，1］上的最大值为___________. 跟踪训练4　(1)若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（    ） A． B． C． D．或 (2)函数的定义域为___________ (3)函数的最小值为___________. 五、比较大小 例5　(1)设，，，则（    ） A． B． C． D． (2)已知，则（    ） A． B． C． D． (3)已知函数，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 跟踪训练5　(1)已知，则（    ） A． B． C． D． (2)（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． (3)（多选）若正数满足，则下列关系正确的是是（    ） A． B． C． D． 六、简单的指数不等式的解法 例