重难点03全等三角形中“倍长中线”模型-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

重难点03全等三角形中“倍长中线”模型 【知识梳理】 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 图一 图二 图三 【考点剖析】 例1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC． 【变式1】如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 【变式2】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． [来源:学&科&网Z&X&X&K 【变式3】如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE． 【变式4】如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明． 【变式5】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F． 求证：∠AEF=∠EAF． 【变式6】如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF． 求证：AD为△ABC的角平分线． 【过关检测】 一．选择题（共8小题） 1．（2020•西湖区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜8 B．0＜AD＜8 C．1＜AD＜4 D．3＜AD＜5 2． AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝3，AC＝5，则AD的取值范围是（　　） A．AD＞1 B．AD＜4 C．1＜AD＜4 D．2＜AD＜8 3．（2022秋•义乌市校级月考）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝4，AC＝2，则AD的取值范围是（　　） A．1＜AD＜3 B．2＜AD＜4 C．2＜AD＜6 D．2＜AD＜3 4．已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝4，AC＝6，则AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜10 B．1＜AD＜5 C．4＜AD＜6 D．4≤AD≤6 5．如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝7，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．4＜AD＜10 B．0＜AD＜10 C．3＜AD＜7 D．2＜AD＜5 6．如图所示，△ABC中，AB＝5，AC＝9，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．4＜AD＜14 B．0＜AD＜14 C．2＜AD＜7 D．5＜AD＜9 7．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定 8．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为（　　） （提示：可以构造平行四边形） A．2＜AD＜14 B．1＜AD＜7 C．6＜AD＜8 D．12＜AD＜16 二．填空题（共4小题） 9．（2022秋•青田县期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　． 10．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是　 　． 11．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连结DC，作DM⊥DC交AC于点M．若AB＝10，AM＝2，则CM＝　 　． 12．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　． 三．解答题（共4小题） 13．（2022秋•海曙区期中）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　 　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，AD