第七讲 数的综合-《知识提炼 能力训练》2023年新初一数学暑假衔接作业课程

1 第七讲 数的综合 一、知识梳理 一、有理数与无理数 1．有理数的分类、 （1）按定义分类、 （2）按性质分类、 2．无理数、无限不循环小数叫做无理数． （1）无理数的特征、无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成 分数的形式． （2）目前常见的无理数有两种形式、①含π类．②看似循环而实质不循环的数， 如、 1．313113111……（相邻两个 3之间 1的个数逐渐增加）． 3.数轴、规定了原点、正方向和单位长度的直线． 诠释、（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如  ． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 4．相反数、只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是 0． 诠释、（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是 关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简、数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数 个时，化简结果为负． 2 5．绝对值、 （1)代数意义、一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值 是 0． 数 a的绝对值记作|a|． （2)几何意义、一个数 a的绝对值就是数轴上表示数 a的点与原点的距离． 二、有理数的运算 1 ．法则、 （1）加法法则、①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异 号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数 同 0相加，仍得这个数． （2）减法法则、减去一个数，等于加这个数的相反数．即 a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则、①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同 0相乘， 都得 0． （4）除法法则、除以一个不等于 0的数，等于乘这个数的倒数．即 a÷b=a· b 1 (b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则、①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何 次幂都是正数，0的任何非零次幂都是 0． (6)有理数的混合运算顺序、①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 诠释、“奇负偶正”口诀的应用、 （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如、－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中 积的符号，例如、（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数 为偶数，则幂为正，例如、 2( 3) 9  ， 3( 3) 27   ． 2．运算律、 （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律、(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律、（ab）c=a(bc) （3）分配律、a(b+c)=ab+ac 三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有、（1）数轴比较法；（2）法则比较法、正数大于 0，0大于负数，正 数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比 较法． 四、科学记数法 把一个大于 10的数表示成 10 na 的形式（其中1 10a  ， n是正整数），此种记法叫做 科学记数法．例如、200 000= 52 10 ． 二、典型例题 例 1、把下列各数填入适当的集合内、19，2.5，－2， 3 1 ， 3 2- ，－4.3，0，  1.0 ，1% 正整数集合｛ …｝负分数集合 ｛ …｝ 3 非负数集合｛ …｝负有理数集合｛ …｝ 例 2、一个小吃店去超市买 10袋面粉，这 10袋面粉的重量分别为、24.8千克，25.1千克， 24.3千克，24.6千克，25.5千克，25.3千克，24.9千克，25.0千克,24.7千克，25.1千 克，你能很快就求出这 10袋面粉的总重量吗？ 例 3 把下列各数在数轴上表示出来，并且用“＞”号把它们连结起来、 －3，－(－4)，0，｜－2.5｜，－1 2 1 变式、蚂蚁从点 O出发，在一条直线上来回爬行．假定向右爬行的路程记为正数，向左爬 行的路程记为负数，则爬过的各段路程依次记为（单位、cm）、+5，－3，+10，－8，－6， +12，－10． （1）蚂蚁最后是否回到出发点 O？ （2）蚂蚁离开出发点 O最远是多少？ （3）在爬行过程中，如果每爬行 1奖励一粒糖，那么蚂蚁一共得到多少糖？ 例 4、已知 a>0，b<0，c<0，且|b|>|