1.4.1.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【高效课堂】2023-2024学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1) 问题1 在空间中，如何用向量表示一个点的位置？ PART 1 点的位置向量 1.基点：在空间中我们取_______作为基点. 定点O 2.向量表示：空间中任意一点P的位置可以 用_______来表示. 3.点的位置向量：_____为点P的位置向量. 问题2 在空间中如何用向量表示直线？ A a l P B l A B P O a PART 2 空间直线的向量表示 l A B P O a 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取AB＝a，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta＝OA＋tAB． 空间任意直线由直线上一定点A及直线的方向向量a唯一确定. 问题3 如何用向量表示空间中的平面 ？ b P O a 点O与向量a，b不仅可以确定平面，还可以具体表示出 内的任意一点. 问题4 如何确定点P在平面ABC内？ A C B a O b P p 有 又 所以有 PART 3 空间平面的向量表示 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP＝OA＋xAB+yAC．① B α A C P O a b ①式称为空间平面 ABC 的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 问题5 如何用一个向量表示平面？ 追问 给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于l的平面有几个？ l a A PART 4 平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a 叫做平面α的法向量．过空间点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以用集合表示为 ． {P|a·AP=0} α A P l a 1.若A(-1,0,1)，B(1,4,7)两点都在直线上，则直线l的一个方向向量为( ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 基础测试 2.已知向量n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量，下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A.n1=(0,-3,1) B.n2=(2,0,1) C.n3=(-2,-3,1) D.n4=(-2,3,-1) A D 例1 求平面的法向量 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2, M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 （1）求直线CD的方向向量； （2）求平面BCC1B1的法向量； （3）求平面MCA1的法向量。 4 3 2 4 2 3 4 2 (1)求直线CD的方向向量； 解：由题意可知，D(0, 0, 0), C(0, 4, 0), (2)求平面BCC1B1的法向量； 解： 因为y轴垂直于平面BCC1B1， 所以直线CD的方向向量是 所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量. 所以 解：因为AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点, 于是n=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量. (3)求平面MCA1的法向量； 所以M(3,2,0), C(0,4,0), A1(3,0,2). 所以 设n=(x,y,z)是平面MCA1的法向量， 则 则 取z =3, 则x=2, y=3. $