第四章指数与对数知识点清单-2022-2023学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

新教材 苏教版2019版 数学必修第一册 第四章知识点清单 目录 第四章　指数与对数 4. 1 指数 4. 2 对数 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第四章　指数与对数 4. 1 指数 一、根式 1. n次方根 (1)定义：如果xn=a(n>1，n∈N* )，那么称x为a的n次方根. (2)表示： n的奇偶性 a的n次方根的表示 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，+∞) 　　注意：负数没有偶次方根；0的n次方根等于0. 2. 根式 (1)定义：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数. (2)性质(其中n>1且n∈N* )： ①()n=a. ②当n为奇数时， =a； 当n为偶数时， =|a|= 二、分数指数幂 1. 正数的正分数指数幂：= (a>0，m，n∈N*，n>1). 2. 正数的负分数指数幂：== (a>0，m，n∈N*，n>1). 3. 0的分数指数幂：0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义. 2 / 2 三、实数指数幂 1. 有理数指数幂的运算性质 (1)asat=as+t(a>0，s，t∈Q). (2)(as)t=ast(a>0，s，t∈Q). (3)(ab)t=atbt(a>0，b>0，t∈Q). 2. 无理数指数幂 　　当a>0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用. 四、根式与分数指数幂的化简、求值 1. 利用根式的性质化简、求值时的注意点 (1)要分清根式是奇次根式还是偶次根式； (2)注意与()n的区别，其中n>1，n∈N*； (3)运算时注意变式、整体代换以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式等的运用，必要时要进行分类讨论. 2. 根式与分数指数幂化简、求值的技巧 (1)将根式化为幂的形式，小数指数幂化为分数指数幂，负指数幂化为正指数幂的倒数. (2)底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于利用指数幂的运算性质. 化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数. 五、指数幂的条件求值问题 1. 解决指数幂的条件求值问题时，一般将已知条件或所求代数式进行恰当变形，从而通过“整体代换法”求出代数式的值. 整体代换法是数学变形与计算常用的方法，分析观察条件与所求代数式的结构特点，灵活运用恒等式是关键. 2. 常用的变形公式如下： (1)a±2+b=(±)2； (2)(+)(-)=a-b； (3) +=( +)(a-+b)； (4) -=( -)(a++b). 4. 2 对数 一、对数 1. 对数的概念 　　如果ab=N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数. 2. 对数式与指数式的关系 　　当a>0，a≠1时，ab=N⇔b=logaN. 3. 常用对数与自然对数 　　以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lg N；以e(e=2. 718 28…)为底的对数称为自然对数，对数logeN简记为ln N. 4. 对数的性质 (1)零和负数没有对数； (2)loga1=0(a>0，a≠1)； (3)logaa=1(a>0，a≠1)； (4)logaab=b(a>0，a≠1，b∈R)； (5) =N(a>0，a≠1，N>0). 二、 对数的运算性质 　　如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)=logaM+logaN； (2)loga=logaM-logaN； (3)logaMn=nlogaM(n∈R). 三、换底公式 1. 换底公式：logaN=，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 2. 相关结论 (其中a，b均为不等于1的正数) (1)logab·logba=1； (2)lobn=logab(m∈R，n∈R，m≠0). 四、利用对数的运算性质化简、求值 1. 利用对数的运算性质求值的关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的关系. 2. 同底数的对数式化简的常用方法 (1)“收”，将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即“收”为一个对数式； (2)“拆”，将积(商)的对数“拆”成两对数之和(差). 3. 在应用换底公式时，要选择合适的底数，若所给的对数式的底数和真数互不相同，则可以选择以10为底数进行换底. 五、对数与指数的综合运用 1. 在对数式与指数式的互化运算中，要注意灵活应用定义、运算性质，尤其要注意条件和结论之间的关系. 2.