专题2.2 基本不等式【八大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.2 基本不等式【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 对基本不等式的理解】 1 【题型2 由基本不等式比较大小】 3 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 4 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 6 【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】 7 【题型6 基本不等式的恒成立问题】 9 【题型7 基本不等式的有解问题】 11 【题型8 基本不等式的实际应用】 13 【知识点1 两个不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 【题型1 对基本不等式的理解】 【例1】（2023·全国·高一假期作业）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（    ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋·河南焦作·高一校考阶段练习）给出下列条件：①；②；③，；④，.其中能使成立的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-3】（2023·全国·校联考三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 由基本不等式比较大小】 【例2】（2023·江苏·高一假期作业）已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（    ） A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q 【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）若，，且，则，，，中最大的一个是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知，，且，求证：. 【变式3-1】（2023秋·河南·高一校联考期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件． (1)若，则； (2)若，则． 【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a，b，c均为正实数. (1)求证：. (2)若，求证：. 【变式3-3】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知，，且，证明. (1)； (2) 【知识点2 基本不等式与最值】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例4】（2023春·广东揭阳·高一统考期末）设，则函数的最小值为（    ） A．6 B．7 C．11 D．12 【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【变式4-2】（2023春·河南信阳·高一统考期末）当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式4-3】（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】 【例5】（2023·重庆沙坪坝·重庆校考模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【变式5-2】（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2023·河南安阳·统考三模）已知，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为4 C．若，则的最大值为2 D．若，则的最大值为 【题型6 基本不等式的恒成立问题】 【例6】（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．不存在