专题2.1 等式性质与不等式性质【七大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.1 等式性质与不等式性质【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 不等关系的建立】 1 【题型2 利用作差法比较大小】 2 【题型3 利用作商法比较大小】 2 【题型4 利用作差法比较大小的应用】 3 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 4 【题型6 利用不等式的性质证明不等式】 5 【题型7 利用不等式的性质求取值范围】 6 【知识点1 不等关系】 1．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 不等关系的建立】 【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【变式1-1】（2023·高一课时练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋·黑龙江双鸭山·高一校考期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 【题型2 利用作差法比较大小】 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 【变式2-1】（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D．与的大小无法判断 【变式2-2】（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·江苏·高一假期作业）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用作商法比较大小】 【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【变式3-1】（2022秋·山东泰安·高一校考期中）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）若，则、、、中最小的是 . 【变式3-3】（2021·全国·高一专题练习），则的大小关系为 ． 【题型4 利用作差法比较大小的应用】 【例4】（2023·高一课时练习）某单位计划组织员工参观花博会需租车前往．甲租车公司：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙租车公司：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两家租车公司的单人全票价、车型都是一样的，试根据该单位参观的人数，选择一下租车公司． 【变式4-1】（2022·上海·高二专题练习）有甲、乙两位股民，分两次同时以a，b两种不同价格（单位：元/股）买入同一种股票；甲的买入方式为：每次买入10000元的股票：乙的买入方式为：每次买入股票2000股；请根据两人所买股票的平均每股价格，判断哪一位的买入方式比较合算？ 【变式4-2】（2023秋·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为，． (1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米； (2)若同时增加窗户面积和地板面积各，判断这所公寓的采