第03讲 导数与函数的极值、最值（4类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第03讲 导数与函数的极值、最值 （核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新I卷，第11题,5分 函数极值点的辨析 函数的性质、奇偶性的定义与判断 2023年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (不含参) 基本(均值)不等式的应用、求平面轨迹 方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长 2023年新Ⅱ卷，第11题,5分 根据极值求参数 根据二次函数零点的分布求参数的范围 2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 根据极值点求参数 利用导数求函数的单调区间 (不含参) 利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零点 2022年新I卷，第8题,5分 由导数求函数的最值 (不含参) 锥体体积的有关计算球的体积的有关计算 多面体与球体内切外接问题 2022年新I卷，第10题,5分 求已知函数的极值点 求在曲线上一点处的切线方程 (斜率） 利用导数研究函数的零点 2022年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (含参) 利用导数研究方程的根 2021年新I卷，第15题,5分 由导数求函的最值 (不含参) 无 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分 【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值 3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习 知识讲解 1. 函数的极值与导数 (1)函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，，而且在点x＝b 附近的左侧，右侧，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值． （3）极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 2. 函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 考点一、求函数的极值或极值点 1．（天津·高考真题）已知函数在上满足，当时取得极值. （1）求的单调区间和极大值； （2）证明：对任意、，不等式恒成立. 2．（全国·高考真题）已知函数（为自然对数的底数） （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； （2）求函数的极值； （3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值. 3．（天津·高考真题）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， （Ⅲ）如果，且，证明 4．（山东·高考真题）设函数，其中. （Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若成立，求的取值范围. 1．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）已知，函数，. (1)求函数的单调区间和极值； (2)设较小的零点为，证明：. 2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数. (1)求函数的极值点个数； (2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值. 3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，． (1)求函数的极值点； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 4．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）设函数. (1)求的极值； (2)已知，有最小值，求的取值范围. 5．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，. (1)讨论极值点的个数； (2)若恰有三个零点和两个极值点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，且，证明：. 6．（2023·浙江·校联考模拟预测）己知函数有三个极值点，其中. (1)求的取值范围； (2)求证：； (3)求证：. 考点二、根据函数极值或极值点求参数值或范围 1．（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 1．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数，若函数在处取得极小值，则的取值范围为 . 2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知函数有两个极