5.1 相交线 学案 2022-2023学年人教版七年级数学下册

垂线、同位角、内错角、同旁内角 知识点一 垂线 当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 如图5-23所示，直线AB，CD互相垂直，记作或，读作AB垂直于CD.若再加上垂足为点O，则记作，垂足为0． 拓展 (1)两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在交角都是直角．其中一条直线称作另一条直线的垂线，如图5-23所示，AB的垂线是CD.反之，CD的垂线是AB． (2)若遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，则特指它们所在的直线互相垂直． (3)根据两条直线互相垂直的定义可知：若两条直线互相垂直，则两条直线的交角为直角，反之，若两条直线的交角为直角，则这两条直线互相垂直．这个推理过程可以写成：如图5-23所示， ∵ （已知）， ∴ （垂直定义）． 反之，∵ （已知）， ∴ （垂直定义）． 知识点二 垂线的画法 让直角三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿另一条直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线． 拓展 (1)经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线，只能画出一条． (2)如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上，如图5-24所示． (3)画垂线时是实线，如需延长线段或反向延长射线，要用虚线延长或反向延长． 知识点三 垂线的画法 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 如图5-25所示，P为直线外一点，，垂足为O，线段PO为点P到直线的垂线段.A，B为直线上两点，线段PA，PB叫做斜线段． 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 简单说成：垂线段最短． 拓展 (1)画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条． (2)直线外一点到这条直线的垂线段只有一条，而斜线段有无数条． 知识点四 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图5-25所示，线段PO的长度叫做点P到直线的距离． 拓展 垂线是直线；垂线段特指一条线段，是图形；点到直线的距离是指垂线段的长度，并且是一个数量，是有单位的（如厘米等）． 知识点五 同位角、内错角和同旁内角 如图5-26所示． (1)∠1和∠5，这两个角分别在直线AB，CD的 同一方（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧）， 具有这种位置关系的一对角叫做同位角． (2)∠3和∠5，这两个角都在直线AB，CD之间， 并且分别在直线EF两侧（∠3在直线EF左侧，∠5在 直线EF右侧），具有这种位置关系的一对角叫做内错角． (3)∠3和∠6，这两个角都在直线AB，CD之间， 并且都在直线EF的同一侧（左侧），具有这种位置关系 的一对角叫做同旁内角． 拓展 如图5 -26所示，八个角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由两个角在图形中的相对位置决定． 基本概念题 例1 如右下图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则给出下列结论： ①AB与AC互相垂直； ②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB； ④点A到BC的距离是线段AD； ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离； ⑥线段AB是点B到AC的距离． 其中正确的有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2 如右下图所示，直线AB，CD相交于点O，,,，求和的度数． 例3 如右下图所示，已知O为直线AB上一点，OE平分，OD平分，则OE与OD有什么位置关系？ 例4 如右下图所示，计划把河中的水引到 水池C中，怎样开渠道最短？ 中考解读 此节内容在中考中常以选择题或填空题的形式出现，难度不大，或常与其他知识融合在一起考查，主要考查垂线的性质及点到直线的距离的概念. 例5 如右图所示，在所标识的角中，是同位角的是 ( ) A. ∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠1和∠4 D．∠2和∠3 例6如右下图所示，于A，于D，下列说法正确的是 ( ) A．的余角只有 B．的邻补角是 C．是的余角 D．与互补 课堂小结 (1)垂线是一条直线，不可度量长度，垂线段是一条线段，可以度量长度． (2)在修路、架线、铺设管道等问题中，可