第13章　轴对称——等腰三角形、等边三角形　讲义　2022—2023学年人教版数学八年级上册

等腰三角形 (2) 例1如图，已知为等边三角形，点分别在边上，且，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 知识点七 等边三角形的判定 1．三条边都相等的三角形是等边三角形． 2．三个角都相等的三角形是等边三角形． 3．有一个角是的等腰三角形是等边三角形； 详解 (1)等边三角形的定义也是等边三角形的一种判定方法． (2)通过计算角度，然后根据等角对等边可说明一个三角形是等边三角形． (3)前两种判定是在三角形的条件下，后一种判定是在等腰三角形的条件下，的角不论是顶角、还是底角都成立． 例2 如图，在等边中，和的平分线相交于点，的垂直平分线分别交于点和点，求证：是等边三角形． 例3 如图，为等边边上一点，，，判断的形状． 含角的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半． 详解 (1)两个含角的直角三角形将长直角边拼接，可得到一个等边三角形，即可说明这样的直角三角形的性质． (2)它是由等边三角形的性质得出来的，体现了直角三角形的性质，它的主要作用是能解决直角三角形中的有关计算问题，特别在以后的学习中应用更广泛． 例4 如图，，，，，求的值． 例5 如图，在中，，，的平分线的长为，求的长． 解题技巧 技巧l 巧用等腰三角形的性质． 例6 某等腰三角形顶角与底角的度数比是，求各个角的度数． 例7 等腰三角形的周长为，一腰上的中线把这个三角形分成周长差为的两个三角形，求等腰三角形各边的长． 技巧2 巧用等腰三角形的判定证明线段“和差”问题． 例8 如图，在中，和的平分线相交于，过作，交于点，交于，若，求线段的长． 技巧3 综合运用等腰三角形的性质和判定． 例9 已知：中，，，如图，为的中点，现将一个三角板的直角顶点放在点处，把三角形绕点旋转，交直线于，交直线于． (1)请判断的形状； (2)求证：． 技巧4 用角证线段“倍半”关系. 例10如图，在等边中，，相交于点，于．求证：. 变式引申用“三线合一”证线段，倍半”关系 例11 如图，，，，，求证：. 技巧5 巧添辅助线构造全等形． 例12如图，中，，为上一点，为延长线上一点，且，交于，求证：. 变式引申 中线倍长法． 例13 已知，如图，在中，为中线，为上一点，与交于，若，求证：. - 4 - 学科网（北京）股份有限公司 $