13.3.1　等腰三角形　讲义　2022—2023学年人教版数学八年级上册

等腰三角形 (1) 知识点一 等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角． 详解 等腰三角形是特殊的三角形，它有关边角的名称是以相等的边为腰；第三边为底，两腰夹角为顶角等，与三角形的摆放位置无关，不是最底下的边是底边，如图为等腰三角形，且，则是腰，不是底边，是底边． 例l 如图所示，中，，是上一点，，则图中有几个等腰三角形？分别指出它们的顶角和底角以及腰和底边． 例2 根据下列条件求等腰三角形的周长． (1)两边长分别为2和5； (2)两边长分别为3和5． 知识点二 等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 详解 (1)“等边对等角”是指在同一个三角形中，边相等则所对角相等，它是证角相等的重要定理，应用时一定要注意“等边对等角”是在同一个三角形中，否则不能乱用该性质． (2)依据三角形内角和定理可以由顶角求底角，或由底角求顶角． 例3 填空题． (1)在中，，若，则 ； (2)在中，；若，则 ； (3)若等腰三角形的一个角为，则顶角为 ； (4)若等腰三角形的一个角为，则顶角为 ． 例4 如图，在中，，在上，且，，求． 知识点三 等腰三角形的性质2 等腰三角形的顶角平分线。底边上的中线、底边上的高互相重合． 详解 (1)性质2是等腰三角形的另一条重要性质，应用非常广泛，它包含了多层意义．可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等． (2)等腰三角形是以顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在直线为对称轴的轴对称图形，通常情况只有一条对称轴． (3)等腰三角形的性质2的证明： 已知，如图，中，，是的平分线，求证：， 例5 已知，如图，在中，为中点，，，．垂足分别为点，求证：. 例6 如图，已知，于.求证：. 知识点四 等腰三角形的判定 (1)利用定义来判定：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． (2)如果—个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）． 详解 (1)等腰三角形的定义既体现了等腰三角形的性质也可以作为等腰三角形的判定．即等腰三角形两边相等． (2)“等角对等边”在同一个三角形内证两条边相等应用极为广泛，往往通过计算三角形各角的度数，得到角相等，也可得到边相等．在运用时要找准“对边”与“对角”． (3)等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”互为逆定理． 例7 如图，的边的延长线上有一点，过作于，交于，且．求证：为等腰三角形． 例8 如图，已知，．求证：． 知识点五 等边三角形的概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形． 详解 (1)由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形，也就是说等腰三角形包括等边三角形，因而等边三角形具有等腰三角形的一切性质； (2)等边三角形有三条对称轴，故三边上均有“三线合一”的性质，其三条中线交于一点，称其为“中心”． 例9 判断题． (1)等腰三角形是等边三角形． ( ) (2)等边三角形是等腰三角形． ( ) 知识点六 等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于． 详解 (1)等边三角形具有等腰三角形的所有性质． (2)等边三角形的三个内角都相等，根据三角形内角和定理可求得它的每一个内角都等于． 例10 如图，已知和都是等边三角形．求证：． 轻松练习 1如图12.3-35，在中，，分别是上的点，若，，则 . 2．如图12.3-36，在中，，是的平分线，是的垂直平分线，，则 . 3．腰长为，底角为的等腰三角形，腰上的高为 ． 4．下列条件①有一个角为的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为的等腰三角形．能判定三角形为等边三角形的有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角 ( ) A．等于顶角 B．等于顶角的一半 C．等于顶角的2倍 D．等于底角的一半 6．如图，在中，，，且，则( ) A． B． C． D. 7．如图，已知分别平分的内角和，，．若，求的周长． 8．如图，在中，，，是高，于，且，求的长． - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $