第12讲 直角三角形全等的判定（3种题型）-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第12讲 直角三角形全等的判定（3种题型） 【知识梳理】 一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【考点剖析】 一、直角三角形全等的判定——“HL” 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在和中，于，于，，相交于点，求证：．    【变式1】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）△OBC是何种三角形？证明你的结论． 【变式2】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，．求证： (1)； (2)． 二、选择适当的方法证明直角三角形全等 例2.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （3）两直角边对应相等； （ ） （4）一条直角边和斜边对应相等． （ ） 【变式1】下列说法正确的有（　　） （1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等； （2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； （3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等； （4）有两条边相等的两个直角三角形全等； （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 　 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式2】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF. 求证：AB∥DC. 【变式3】如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC． 　　 三、全等三角形的性质与“HL”综合 例3、 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC． 求证：（1）AB＝CD： （2）AD∥BC． 【变式1】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC． 求证：ED⊥AC． 【变式2】已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC； 【变式3】已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90° .求证：OC＝OD. 【变式4】如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC． 【变式5】已知，如图，是的边的中点，，，垂足分别为，，且，求证：． 【变式6】（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在中，D是边上的中点，，，垂足分别是点E，F且．求证： (1)是等腰三角形； (2)点D在的角平分线上． 【变式7】（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在中，，平分交于点D，作于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的面积． 【变式8】（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式9】（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）已知：如图，中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，，，垂足分别是、． (1)求证：； (2)求和的长． 【变式10】（2022秋·八年级校考期中）已知在中，的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，于M，的延长线于N． (1)求证：． (2)当时，求的度数： (3)若，，，求的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）根据下列条件，能画出唯一确定的的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，平分，于C，于D，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D