第11讲 探索勾股定理（6种题型）-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第11讲 探索勾股定理（6种题型） 【知识梳理】 一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段. 四、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 五、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 六、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 【考点剖析】 一．勾股定理 例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）若＝5，＝12，求； （2）若＝26，＝24，求． 【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）已知＝2，＝3，求； （2）已知，＝32，求、． 【变式2】如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积． 【变式3】已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长． 【变式4】已知直角三角形斜边长为2，周长为，求此三角形的面积． 【变式5】长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长． 【变式6】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC＝3，AD＝2，求BC的长． 【变式7】（2022春•长兴县月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC+BC，AB＝2． （1）求△ABC的面积； （2）求CD的长． 【变式8】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．求：△ABC的周长． 【变式9】如图，四个三角形纸片Rt△ABC，Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，Rt△AB3C3完全重合，并按图示位置摆放．已知BC＝，AB＝1，求四边形CC1C2C3的面积． 【变式10】（2022春•庆元县校级月考）在如图所示的方格图中，每个小方格的边长均为1，则△ABC的周长为多少？ 【变式11】（2022春•西湖区校级月考）已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E． （1）求证：AE＝DE； （2）如果AC＝3，，求AE的长． 【变式12】分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题． OA22=（）2+1=2 ，S1=； OA32=（）2+1=3，S2=； OA42=（）2+1=4，S3=… （1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn=___________； （2）推算出OA10=______________． （3）求出 S12+S22+S32+…+S102的值． 二．勾股定理的证明 例2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N， 试说明． 【变式1】如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为0.7m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4