1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（五大考点）-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 1．能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量. 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行垂直关系. 3．能用向量方法证明有关直线、平面平行垂直关系的判定定理. 4．能用向量方法证明空间中直线平面的平行垂直关系. 知识点一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 知识点二、平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明_____垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条_____直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 知识点三、空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线_____ 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面_____． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的_____平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点四、空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的_____均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的_____定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相_____ 考点01 求平面的法向量 1．已知直线经过点，平行于向量，直线经过点，平行于向量，求与两直线，都平行的平面的一个法向量的坐标． 2．如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD； (2)平面； (3)平面． 3．已知，求平面的一个单位法向量的坐标. 4．已知是正方体，求平面的一个法向量． 5．已知，，． (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面经过点A，且是的法向量，是平面内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 6．在正方体中，证明：是平面的法向量． 考点02 利用空间向量证明线面平行 7．如图，且，，且，且，平面ABCD，.若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE； 8．在如图所示的五面体中，面是边长为的正方形，面，，且，为的中点，为中点.求证：平面. 9．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点．求证：平面； 10．已知在正方体中，分别是棱的中点． 证明：与平面不平行. 11．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，（为常数，且）．若直线BF平面ACE，求实数