1.2 空间向量基本定理（四大考点）-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

1.2空间向量基本定理 1．了解空间向量基本定理及其意义. 2．掌握空间向量的正交分解. 3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法. 知识点一、空间向量基本定理 如果三个向量_____共面,那么对任意一个空间向量,存在_____的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个_____, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 知识点二、空间向量的正交分解 1.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两_____,且长度都为_____,常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量_____为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 考点01 基底的判断 1．已知是空间向量的一组基底，，一定可以与向量，构成空间向量的另一组基底的是（　　） A． B． C． D． 2．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（    ） A． B． C． D． 3．设，，，且是空间的一组基，则不能作为空间一组基的向量组是（　　） A． B． C． D． 4．（多选）已知是空间的一组基，下列向量中，可以与构成空间的一组基的向量是（　　） A． B． C． D． 5．（多选）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（    ） A．不是空间的一组基底 B．不是空间的一组基底 C．向量的模是2 D．向量和的夹角为 6．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 考点02 用基底表示空间向量 7．半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 9．在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，已知平行六面体，设，，，是的中点，是的中点.用一组基表示以下向量:    (1)； (2). 11．在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 12．在四面体中，点在上，且，为中点，则=（    ） A． B． C． D． 考点03 空间向量基本定理在位置关系中的应用 13．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，. (1)求证EG⊥AB； (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 14．（多选）在底面棱长为2侧棱长为的正三棱柱中，点E为的中点，，则以下结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，平面 C．存在使得平面 D．四面体外接球的半径为 15．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 . 16．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 17．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 19．已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC． 考点04 空间向量基本定理在夹角中的应用 20．（多选）如图，已知平面，，，，为的中点，，则以下正确的是（    ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D．与所成角的余弦值为 21．（多选）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．直线与AC所成角的余弦值为 22．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，是棱的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 23．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_____. 24．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是. (1)求证：