2.2.2 圆的对称性-圆心角（八大题型）-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏科版）

2.2.2圆的对称性-圆心角 一、圆心角与弧的定义 1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 二、圆心角定理及推论 1.圆心角定理： 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. (2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. (3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论： 　　在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 题型1:圆心角的概念及辨析 1．下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为 ． 3．120°的圆心角是360°的 分之一，它所对的弧是相应圆周长的 分之一． 4．下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 题型2:利用弧、弦、圆心角的关系求解 5．如图，在中，，则度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，若，则的度数是（      ）．        A． B． C． D． 7．下列说法中，正确的是（    ） A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 B．弦的中垂线一定经过圆心 C．圆心角相等的两条弧一定相等 D．平分弦的直径一定垂直于该弦 8．如图半径将一个圆分成三个大小相同扇形，其中是的角平分线，，则等于（　　） A． B． C． D． 9．如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么 ．    10．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（    ） A．70° B．45° C．35° D．30° 11．如图，点A，B，C在上，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 12．如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 题型3:利用弧、弦、圆心角的关系比较大小 13．如图，A、B、C是上三个点，，则弦与的大小关系是 ．（填“>”、“<”或“=”） 题型4:弧、弦、圆心角的关系与其他几何知识综合 14．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧上，DA＝DB，则∠AOD的度数为 ． 15．如图，在中，，截三边所得的弦长，则 度． 16．如图，在中，弦与弦相交于点，，，延长至点，连接，设，则的取值范围是 ． 题型5:最值问题 17．如图，已知的半径为，、是直径的同侧圆周上的两点，，是的中点，动点在线段上，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 18．如图，是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，，点P是上的一个动点，则的最小值为 ． 题型6:弧、弦、圆心角的关系解答证明题 19．如图，在⊙O中，点C是的中点，D、E分别是半径和的中点，求证：． 20．如图，是的直径，，，，，都是的弦，且，求与的度数． 21．如图，C为弧的中点，于点M，于N，且为的直径，若，求长． 22．如图，已知为 的直径，CD是的弦，、的延长线交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若的度数是的度数的m倍，则m＝ ． 题型7:弧、弦、圆心角的关系与垂径定理等几何知识综合 23．如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点C、D．    (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径长； 24．如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 25．已知是的直径，点，是半圆的三等分