专题06 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长、线段最值问题压轴题三种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略(浙教版）

专题06 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长、线段最值问题压轴题三种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用二次函数求面积最值问题】 1 【考点二 利用二次函数求周长最值问题】 14 【考点三 利用二次函数求线段最值问题】 27 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求面积最值问题】 例题：（2023春·安徽合肥·九年级统考阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为原点），A两点，已知二次函数图象经过点，且其对称轴为直线．    (1)试确定二次函数的表达式； (2)已知y轴上一点，点P是二次函数图象上位于x轴下方的一点，连接．设点P的横坐标为t，的面积为S． ①求S与t之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； ②当S取最大值时，求点P的坐标． 【变式训练】 1．（2023·辽宁锦州·统考二模）如图，抛物线与轴交于、，交轴于．    (1)求抛物线的表达式； (2)是直线上方的抛物线上的一个动点，设的横坐标为，当四边形的面积最大时，求出面积的最大值及点的坐标； (3)设点是轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点坐标． 2．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点C，对称轴为直线，点的坐标为．      (1)求该抛物线的表达式及顶点坐标； (2)在直线的下方的抛物线上存在一点M，使得的面积最大，请求出点M的坐标 (3)点F是抛物线上的动点，点D是抛物线顶点坐标，作交轴于点，是否存在点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023·湖南郴州·统考二模）如图，抛物线 与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线下方抛物线的一个动点，当面积最大时，求点的坐标及面积最大值． (3)若点是抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值． (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； 【考点二 利用二次函数求周长最值问题】 例题：（2023·天津·校联考一模）抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在拋物线对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标； (3)是拋物线对称轴上的一点，是对称轴右侧拋物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，求出符合条件的所有点的坐标． 【变式训练】 1．（2023春·广东湛江·九年级湛江市第二中学校考阶段练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由． (3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标． 2．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 3．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 4．（2023·广东佛山·二模）已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式． 【考点三