22.1 二次函数的图像和性质（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

22.1二次函数的图像和性质（重难点） 【知识点一、 二次函数的概念】 1、有关概念 形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数为二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的解析式必须满足的三个条件 （1）等号右边是整式； （2）自变量的最高次数必须是2； （3）二次项系数不为0 3、二次函数的结构特征 等号左边是y，等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式． （1）当b＝0时，二次函数为 ； （2）当c＝0时，二次函数为 ； （3）当b＝0，c＝0时，二次函数为． 【知识点二、二次函数y=ax2的图象和性质】 1、二次函数y=ax2的图象的画法 画图步骤 解释 列表 让x取一此代表性的值(正数、负数或0)，求出对应的y值，列出表格 描点 在平面直角坐标系内，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点 连线 在平面直角坐标系内，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点 【示例】 1．在同一平面直角坐标系中作出和的图象． 【方法总结】 画二次函数y=ax2的图象的三点注意 （1）列表时，自变量应以О为中心，左右两边要对应取值； （2）画图象时，图象应越过端点，表示为向下或向上无限延伸﹔ （3）图象在两个象限内画出的曲线是对称的，顶点处不能画成尖形，应该保持平滑． 2、二次函数y=ax2的图象和性质 函数 a 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 （0，0） y轴 当x＞0时，y随x的增大而增大； 当x＜0时， y随x的增大而减小； 当x=0时，y最小值=0 向下 （0，0） 当x＞0时，y随x的增大而减小； 当x＜0时， y随x的增大而增大； 当x=0时，y最大值=0 【知识点三、二次函数y=a(x—h)2十k的图象和性质】 1、二次函数 的图象的画法 （1）描点法 （2）平移法 2、二次函数 的图象和性质 二次函数 a 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 a＞0 向上 （0，k） y轴 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x=0时y最小值=k a＜0 向下 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 当x=0时y最大值=k a＞0 向上 （h，0） 直线x=h 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大 当x=h时y最小值=0 a＜0 向下 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 当x=h时y最大值=0 a＞0 向上 （h，k） 直线x=h 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 当x=h时y最小值=k a＜0 向下 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 当x=h时y最大值=k 【知识点四、二次函数与之间的相互关系】 1．顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点 ，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2． 一般式化成顶点式 ． ∴ 抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【知识点五、用待定系数法求二次函数解析式】 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： （1）一般式：（a，b，c为常数，a≠0）； （2）顶点式：（a，h，k为常数，a≠0）； （3）交点式：（，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 题型一 二次函数的定义 例1．以下函数式二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】．若函数是二次函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】．若函数是关于x的二次函数，则（    ） A． B．3 C．3或 D．2 【变式训练1-3】．下列函数中，是二次函数的有（　　） ①，②，③，④ A．个 B．个 C．个 D．个 题型二 二次函数的平移 例2．将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2