21.3 实际问题与一元二次方程（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

21.3实际问题与一元二次方程（重难点） 【知识点一、平均增长(降低)率问题】 增长率(或降低率)问题的规律 1．增长率问题：设基数为a，平均增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，n次增长后的值为． 2．降低率问题：设基数为a，平均降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，n次降低后的值为． 【知识点二、经济利润问题】 总利润＝售价×销售量－进价×销售量＝（售价－进价）×销售量＝单件利润×销售量 未知数x 销售量 总利润 x为降价 销售量与x是一次函数关系 总利润＝单件利润×（一次函数的表达式） x为涨价 x为降价 【知识点三、握手问题和送礼问题】 1、握手问题 设有个人互相握手，每个人都站起来和其他个人握手，每个人都站起来和其他人握手之后，一共握手次，但任意两人之间都握手2次，实际每两人之间只需要握手一次，设握手总次数为b，则； 2、送礼问题 设有个人互相送卡片，每个人都给其余个人送一张卡片，每个人都给其他人送卡片之后，一共送了． 【知识点四、 面积类问题】 类型 图形 面积表示 1、内挖类型 如图所示的矩形ABCD长为a，宽为b，空白部分宽均为，则阴影的面积可表示为 ． 2、外扩类型 如图所示的阴影部分矩形的长为a，宽为b，空白部分宽均为，则矩形ABCD的面积可表示为 ． 3、开路问题 如图所示矩形的长为a，宽为b，在矩形中挖四条等宽的小路，路宽均为x，则剩余部分（绿色阴影）面积可表示为 ． 4、围栏问题 ①如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为，则矩形BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为 ； ②如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，中间还有一道篱笆EF，篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为 ； ③如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，并开一个宽度为b的门，篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为 ； 题型一 增长率问题 例1．据统计，目前某市基站的数量约万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到万座． (1)计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？ (2)求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率． 【答案】(1)计划到2023年底，全市5G基站的数量是6万座. (2)2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为 【分析】（1）按照条件计算即可； （2）设出未知数，按题目要求列出算式，得出结果检验． 【详解】（1）解：（万座）， 答：计划到2023年底，全市基站的数量是6万座. （2）解：设2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率为x， 依题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为； 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 【变式训练1-1】．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率． (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客．经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 (2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【分析】（1）设4月份到6月份的月平均增长率为，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件，可列方程，求解即可； （2）设该款吉祥物降价元，根据单个商品的利润销售量总利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 则 解得，（舍去） 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设该款吉祥物降价元． 则 解得，（舍去） ∴元， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式训练1-2】．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． (1)求该公司销售A产品每次的增长率； (2)若A产品每套盈利2