3.1 不等式的基本性质（5大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

3.1 不等式的基本性质 一、比较实数a、b的大小 1、文字描述：如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么，反过来也对。 2．符号表示：；； 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 三、比较两个实数（或代数式）大小 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 题型一 利用不等式的性质判断大小 【例1】（2023春·上海宝山·高一统考期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）（多选）已知∈R，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（2023春·贵州遵义·高一遵义二十一中校考阶段练习）（多选）已知，下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·云南红河·高一统考期末）（多选）下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二 作差法比较代数式的大小 【例2】（2023·江苏·高一假期作业）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋·四川成都·高一校考阶段练习）已知，，则与的大小关系为 ． 【变式2-2】（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设、为正实数，试比较与的值的大小，并说明理由． 【变式2-3】（2023·全国·高一假期作业）比较大小： （1）和； （2）和，其中． 题型三 作商法比较代数式的大小 【例3】（2021·全国·高一专题练习），则的大小关系为 ． 【变式3-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知，试比较和的大小. 【变式3-2】2023·全国·高一假期作业）已知，试比较与的大小. 【变式3-3】（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）设，比较与的大小； 题型四 利用不等式求取值范围 【例4】（2023春·广东揭阳·高一统考期末）已知，且，则的取值范围是 ． 【变式4-1】（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【变式4-2】（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）已知，则的取值范围是 . 【变式4-3】（2022秋·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）（1）若，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 题型五 由不等式的性质证明不等式 【例5】（2022秋·北京西城·高一北京育才学校校考阶段练习）已知，求证 【变式5-1】（2022·高一课时练习）设，，，，，证明：． 【变式5-2】（2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式： （1）已知，求证 （2）已知，求证：． 【变式5-3】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式． （1），bd＞0，求证：； （2）已知a＞b＞c＞0，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 不等式的基本性质 一、比较实数a、b的大小 1、文字描述：如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么，反过来也对。 2．符号表示：；； 二、不等式的性质 性质 别名