3.2 基本不等式（6大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

3.2 基本不等式 一、基本不等式 1、给定两个正数，，数称为，的算数平均数；数称为，的几何平均数 2、如果，是正数，那么，当且仅当时，等号成立. 3、几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 4、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 5、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 二、基本不等式的证明 1、法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2、法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 三、利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为. 四、基本不等式的实际应用 基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下： （1）先理解题意，设出变量，设变量时一般要把要求最大值或最小值的变量定为因变量； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）根据实际意义写出正确的答案。 题型一 基本不等式的内容辨析 【例1】（2021秋·河南南阳·高一校考阶段练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【变式1-1】（2022秋·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）（多选）下列推导过程，其中正确的是（ ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 【变式1-2】（2022秋·安徽六安·高一校考阶段练习）（多选）下列说法中正确的有（ ） A．不等式恒成立 B．存在实数,使得不等式成立 C．若,,则 D．若,且,则 【变式1-3】（2023春·四川绵阳·高一校考开学考试）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 题型二 无条件性型基本不等式求最值 【例2】（2023春·云南红河·高一蒙自一中校考阶段练习）设，则的最小值为（ ） A．5 B．3 C．4 D．9 【变式2-1】（2022秋·江西·高一统考阶段练习）已知实数x满足，则的最大值为（ ） A． B．0 C．4 D．8 【变式2-2】（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）若，则的最小值为 ． 【变式2-3】（2022秋·河南洛阳·高一校考阶段练习）已知，，则的最小值为 . 【变式2-4】设，求函数的最大值． 题型三 有条件型基本不等式求最值 【例3】（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【变式3-1】（2023春·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ） A．8 B．16 C．24 D．32 【变式3-2】（2022秋·高一校考课时练习）正实数满足，则的最小值为 . 【变式3-3】（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知，若，则的最小值是（ ） A．7 B．9 C． D． 【变式3-4】（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若，，且，则的最小值是（ ） A．5 B．8 C