11.1 与三角形有关的线段-【高分突破系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 1 三角形 （1）概念 由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形. （2）分类 ① 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； ② 按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形. 2 三角形三边的关系 三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边； 解释 在三角形中，（由两点间线段最短可得）， 同理可得, ； 由，同理得，. 3 与三角形有关的线段 （1）高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。 解释 以下三个三角形中是边上的高，其中垂足是。 易得. 课外结论：同一个三角形的三边的三条高会交于一点，该点称为三角形的垂心. （2）中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。 三角形的三条中线相交于一点，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心. 解释 ① 如下图，在三角形中，、、分别是、、的中点，则边、、上的中线分别是、、，且三条中线中交于一点,称为三角形的重点. ② 如上图，是边上的中线，则. （3）角平分线，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 解释 如下图，在三角形中，的角平分线交于点，则线段叫做的角平分线； 课外结论：若线段、也是的角平分线，它们会交于同一点，该点称为的内心（这会在后面讲到）. 4 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性. 【题型1】 三角形三边关系 【典题1】 下列长度的三条线段(单位：cm)能组成三角形的是(　　) A．3，4，8 B．5，6，11 C．6，8，16 D．17，17，25 【典题2】 已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是(　　) A．11 B．10 C．9 D．7 【巩固练习】 1.已知三角形两边分别为4cm和3cm，则第三边可能是(　　) A．1cm B．5cm C．7cm D．8cm 2.一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，则第三边的长可能是(　　) A．1cm B．2cm C．7cm D．8cm 3.若长度分别为a，2，3的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是(　　) A．1 B．2 C．5 D．8 4.如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝14m，PB＝10m，那么AB间的距离不可能是(　　)​ A．4m B．15m C．20m D．22m 5.三角形的三边长分别为3、6和a，其中a为奇数，那么这个三角形的周长是(　　) A．14 B．15 C．16 D．14或16 6.已知，a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|． 7.如图所示，P是△ABC内一点，连接PB、PC，试比较PB+PC与AB+AC的大小． 【题型2】 三角形的高 【典题1】 图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1.下列各三角形中，正确画出AC边的高的是(　　) A． B． C． D． 2.如图，CD⊥AB，AF⊥BC延长线于点F，BE⊥AC延长线于点E，则△ABC中BC边上的高是(　　) A．AF B．AE C．CD D．BE 【题型3】 三角形的中线 【典题1】 如图，△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是(　　) A．20 B．24 C．26 D．28 【典题2】如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3．则△ABC的面积是(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 【巩固练习】 1.如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是(　　) A．∠BAD＝∠CAD B．BD＝CD C．AB＝AC D．AC＝AD 2.如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD=5，CD=9，则CE的长为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 3.在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 4.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若BE=3，则BC=　 　． 5.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若S△CEF=5，则△ABC的面积为 . 【题型4】 三角形的角平分线 【典题1】 在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：(1)∠BAD=∠CAD；(2)∠ABE=∠CBE；(3)BD=DC；(4)AE=EC，其中正确的是(