第08讲 二次函数的综合问题精练（拓展）-2023-2024学年人教版九年级数学上册同步学讲练测系列讲座之《二次函数》

2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《二次函数》 第08讲 二次函数的综合问题精炼（拓展） （与中考难度持平） 1. （2023安徽）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． （1）求的值； （2）已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 2. （2023四川达州）如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3. （2023重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为． （1）当时，求，两点的坐标； （2）连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值； （3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 5．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC． （1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴； （2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； （3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值； （4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《二次函数》 第08讲 二次函数的综合问题精炼（拓展） （与中考难度持平） 1. （2023安徽）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． （1）求的值； （2）已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解． （ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解． 【详解】（1）依题意，， 解得：， ∴； （2）（ⅰ）设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得：， ∴直线， 如图所示，依题意，，，， ∴， ， ∴当时，与的面积之和为， （ⅱ）当点在对称右侧时，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：， 当时，， ∴， ∴， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2. （2023四川达州）如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大面积为， （3）存在，或或，，见解析 【解析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果； （3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）将点代入解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，将点B、C代入得