第12章 全等三角形　模型归纳　 2022—2023学年人教版数学八年级上册

八上几何模型归纳 题型一 “手拉手”模型 已知 AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=α，则△ BAE≌△ CAF，由此可以继续证明的结论很多——BE=CF，∠BDC=∠BAC，AD 平分∠BDF，等等 A B α α F D C E 【例1】在△AOB 和△COD 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α． （1） 如图 1，若α=  90 ，则 AC 和 BD 的数量关系是 ，AC 和 BD 的位置关系是 ； （2） 如图 2，若 α= 60 ，AC 和 BD 相交于点 P，求证：OP 平分∠BPC ． （3） 如图 3 所示，则 AC 与 BD 的数量关系为 ，试用α 表示直线 AC 和 BD 所形成的夹角，则夹角为 ．（不写证明） A A AD P D C C P D C B O B O B O 图1 图2 图3 1 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型二 帽子模型 “帽子”模型常见辅助线做法： ⑴作平行线构造全等 ⑵作垂直构造全等 已知 AB=AC，BE=CF，EF 交 BC 于 D，则DE=DF. 已知 AB=AC，BE=CF，EF 交 BC 于 D， EH⊥BC 于 H，则 DH= 1 BC 2 A A E E 2 B D C B H D C F 【例2】（2013 年武汉二中，2015 年 81 中月考）如图 1，已知 A（0， 2 ）， B（4，0）， （1） 如图 2，连接 AB，若 D(0, -6) ，DE⊥AB 于点 E，B、C 关于 y 轴对称，M 是线段 DE 上的一点，且 DM=AB， 连接 AM，试判断线段 AC 与 AM 之间的位置和数量关系， 并证明你的结论； F y A O B x yA E C O B M D x （2） 如图 3，在（2）的条件下，若 N 是线段 DM 上的一个动点，P 是 MA 延长线上的一点，且 DN=AP， 连接 PN 交 y 轴于点 Q，过点 N 作 NH⊥ y 轴于点 H，当 N 点在线段 DM 上运动时，△MQH 的面积 是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由. y xP A Q O M H N D 题型三 夹半角模型 夹半角模型的证明核心是“图形的旋转”，以旋转造全等，已知 AB=AC，∠BAC=2∠DAF， 则构造△AEB≌△AFC，进而可以证明△ ADE≌△ADF E B y D x A x+y y F C 【例3】（2015 年·二十五中期中）如图，已知 A(a，0)、B(0，b)，且 a、b 满足(a－2)2＋|2b－4|＝0 （1） 如图 1，求△AOB 的面积 （2） 如图 2，点 C 在线段 AB 上（不与 A、B 重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段 AC、BD、CD 之间的数量关系并证明你的结论. （3） 如图 3，若 P 为 x 轴上异于原点 O 和点 A 的一个动点，连接 PB，将线段 PB 绕点 P 顺时针旋转 90° 至 PE，直线 AE 交 y 轴于点 Q，当 P 点在 x 轴上移动时，线段 BE 和线段 BQ 中，请判断哪一条线段长为定值，并求出该定值 3 题型四 中点垂线模型 已知 CB=CA，∠ACB=90°，D 是 CA 中点，CF⊥BD 于 F，交 AB 于 E，则①∠CDB=∠ADE ②DE+CE=BD B C F E D A 已知 CB=CA，∠ACB=90°，CG=AD，CF⊥BG 于 F，交 AB 于 E，则①∠CGB=∠ADE ②DE+CE=BG B C F G E D A 【例4】如图，在△ABC 中， <ABC = 90 ， AB = BC ， A(-4, 0) ， B(0, 2) ． （1） 如图 1，求点 C 的坐标． （2） 如图 2，BC 交 x 轴于点 M，AC 交 y 轴于点 N，且 BM  CM ，求证： <AMB = <CMN ． （3） 如图 3，若点 A 不动，点 B 在 y 轴的正半轴上运动时，分别以 OB、AB 为直角边在第一、第二象限作等腰直角三角形△BOF 与等腰直角三角形△ABE ，连接 EF 交 y 轴于 P 点，问当点 B 在 y 轴正半轴