18.1.2 平行四边形的判定 2022-2023学年人教版八年级数学下册

平行四边形的判定 知识点1 平行四边形的判定方法（重点） (1)方法1：定义判别法，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的定义是判断平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础，关于边、角、对角线方面还有以下判定定理． (2)方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 如图19-1-37，连接BD，由AD＝BC，AB＝CD，可证△ABD≌△CDB，得到AB∥CD，AD∥BC.由定义得到四边形ABCD为平行四边形。如图19-1-37所示，其推理形式为： ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． (3)方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 如图19-1-37，由∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∠BAD＋∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＝360°，可得∠ABC＋∠BCD=180°，∠BAD＋∠ABC=180°，从而得到AB∥DC，AD∥BC.由定义得到四边形ABCD为平行四边形，其推理形式为： ∵∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 　　(4)方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。如图19-1-38，其推理形式为： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 　　(5)方法5:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 如图19-1-37，其推理形式为： ∵AD∥BC，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 该定理也由两个要素决定：①AD∥BC(位置关系)，②AD＝BC(数量关系)． 　　提示：(1)平行四边形的判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为命题正确的构成条件．(2)判定方法可作为“画平行四边形”的依据． (3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。 例l 如右图，E、F是ABCD的对角线BD所在直线上的两点，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形。 例2 如图19-1-40所示，在ABCD中，延长AD至F，使DF=AD，连接BF交CD于点E，求证：点E平分CD与BF． 知识点2　三角形的中位线及其定理（重点） (1)三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． (2)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 提示：(1)三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系． (2)三角形中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别。 例3 如图19-l-41所示，在△ABC中，点D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点．求证：EF∥BC. 典型例题全解 题型一　运用平行四边形的判定解题 例4 下面给出了在四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是　　　　　　　　　　　 　　　( ) A．l:2:3:4 　 B．2:2:3:3　　 C．2:3:2:3 D．2:3:3:2 例5 如图19-1-46所示，在四边形PONM中，MO⊥ON于O，各边长在图上已标出，证明：四边形PONM是平行四边形． 题型二 三角形中位线的综合应用 例6 如图19-1-47所示，已知AO是△ABC中∠BAC的角平分线，BD⊥AO交AO的延长线于D，E是BC的中点，求证：。 题型三 利用平行四边形的性质解决环境绿化问题 例7 国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏，某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是 ( ) A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 题型四 利用平行四边的性质求证两条线段相等 例8 如右下图，已知AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连接BE交AD于F，且AE＝FE， 证明：BF=AC． 题型五 利用三角形的中位线性质来判断两线段的位置关系 例9 如图所示，已知△ABC中，D是BC上一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，请你探究EG、HF的关系，并说明理由。 题型六 利用平行四边形的判定来解决运动中的几何问题 例10 如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6 cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C向B运动，多长时间后