奥数第三讲立体图形（讲义）-六年级上册数学人教版

奥数第三讲立体图形讲义2023-2024学年人教版六年级数学上册 要点全景（第一个板块） 　对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查． 空间形体的想像能力是小学生的一种重要的数学能力，而立体图形的学习对培养这种能力十分有效。我们虽然在课本上已经学习了一些简单的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体，但有关立体图形的概念还需要深化，空间想象能力还需要提高。 将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理，是解决立体图形问题的一种常用思路。 名题巧解（第二个板块） 【例1】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体） 【分析】正方体有6个面，而每个面中间有一个正方形的孔，在计算时要减去小正方形的面积。各面又挖去一个小正方体，这时要考虑两头小正方体是否接通，这与表面积有关系。由于大正方体的棱长为4cm，而小正方体的棱长为1cm，所以没有接通。每个小正方体孔共有5个面，在计算表面积时都要考虑。 【解答】　解：大正方体每个面的面积为 　　4×4-1×1=15（cm2）， 　　6个面的面积和为15×6=90（cm2）。 　　小正方体的每个面的面积为 　　1×1=1（cm2）， 　　5个面的面积和为 　　1×5=5（cm2）， 　　6个小正方体孔的表面积之和为5×6=30（cm2）， 　　因此所求的表面积为 　　90＋30=120（cm2）。 【技巧点评】原正方体的表面积是44696(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：9646120平方厘米． 即时演练1：在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？ 　　　 【例2】一个长、宽和高分别为21cm，15cm和12cm的长方体，现从它的上面尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 【分析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方体. 因为，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是厘米，第二次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求． 那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体积应是：（立方厘米）. 【解答】　根据长方体的长、宽和高分别为21cm，15cm和12cm的条件，可知第一次切下尽可能大的正方体的棱长是12cm，其体积是 　　12×12×12=1728（cm3）。 　　这时剩余立体图形的底面形状如图1，其高是12cm。这样，第二次切下尽可能大的正方体的棱长是9cm，其体积是 　　9×9×9=729（cm3）。 　　这时剩余立体图形可分割为两部分：一部分的底面形状如图2，高是12cm；另一部分的底面形状如图3，高是3cm。这样，第三次切下尽可能大的正方体的棱长是6cm，其体积是 　　6×6×6=216（cm3）。 　　因此，剩下的体积是 　　21×15×12-（123＋93＋63）=3780-2673=1107（cm3）。　 答：剩下的体积是1107立方厘米. 【技巧点评】　说明：如果手头有一个泥塑的长方体和小刀，那么做出这道题并不难。但实际上，我们并没有依赖于具体的模型和工具，这就是想象力的作用。我们正是在原有感性经验的基础上，想象出切割后立体的形状，并通过它们各个侧面的形状和大小表示出来。因此，对一个立体图形，应该尽可能地想到它的原型。 即时演练2：一个长，宽，高分别为28为厘米，19厘米，16厘米的长方体，先从此长方体中尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，那么剩下部分的体积是多少立方厘米? 【例3】右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？ 【分析】一个长方体有8个角、12条棱、6个面，角上的8个小立方体三面涂有红色，在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色，在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红色。 【解答】根据上面的分析得到： 　　三面涂有红色的小立方体有8块； 　　两面涂有红色的小立方体，因为每条