第二章圆锥曲线知识点清单-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

新教材 北师大2019版 数学选择性必修第一册 第二章知识点清单 目录 第二章 圆锥曲线 　　§1 椭圆 　　§2 双曲线 　　§3 抛物线 　　§4 直线与圆锥曲线的位置关系 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第二章 圆锥曲线 §1 椭圆 一、椭圆的定义 1. 前提条件：平面内，一个动点P，两个顶点F1，F2，一个常数2a 2. 满足关系：|P F1|+|P F2|=2a 3. 限制条件：2a>| F1 F2|>0 4. 结论：满足上述关系和条件的动点P的轨迹叫作椭圆 5. 相关概念：两个顶点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离| F1 F2|叫作椭圆的焦距 二、椭圆的标准方程及其几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b，-a≤y≤a 对称性 对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点 顶点 A1(-a，0)，A2(a，0)， B1(0，-b)，B2(0，b) A1(0，-a)，A2(0，a)， B1(-b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长为2a，短轴长为2b 离心率 e= (0<e<1) 通径长 2 / 2 二、椭圆的标准方程 1. 定义法求椭圆的标准方程 　　根据椭圆的定义确定a，b的值，结合焦点位置写出椭圆的标准方程. 2. 用待定系数法求椭圆的标准方程的一般步骤 (1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能. (2)设方程：根据上述判断，设方程为+ =1(a>b>0)或+ =1(a>b>0)或mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组. (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准方程. 3. 利用椭圆的几何性质确定椭圆的标准方程 (1)与椭圆+ =1 (a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程为+ =k1 (k1>0，焦点在x轴上)或+ =k2(k2>0，焦点在y轴上). (2)与椭圆+ =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆方程为+=1(k<min{a2，b2}). 三、椭圆的焦点三角形问题 1. 焦点三角形及其解法 (1)椭圆上异于长轴端点的一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形. 解关于椭圆的焦点三角形问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识. (2)焦点三角形的常用公式： ①焦点三角形的周长C=2a+2c. ②在△PF1F2中，由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2. ③设P(xP，yP)，则焦点三角形的面积S=c|yP|=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan. ④当且仅当点P位于短轴端点时，∠F1PF2最大，此时满足cos∠F1PF2≥2e2-1. 四、椭圆的离心率 1. 求椭圆的离心率的两种常用方法 (1)易求a，c时，直接用e=求解；易求b，c时，利用e=求解；易求a，b时，利用e===求解. (2)若a，c的值不可求，则可列出只含a，c的齐次方程，列式时常用代替式子中的b，然后将等式两边同时除以a的最高次幂，从而利用e=将其转化为只含未知数e的方程，解方程即可. 此时要注意0<e<1. 2. 求椭圆的离心率的取值范围 (1)根据条件建立关于a，b，c的不等式，借助a2=b2+c2将其转化为关于a，c的齐次不等式，再将不等式两边同时除以a的最高次幂，得到关于e的不等式，解不等式即可求得e的范围. 此时要注意0<e<1. (2)解题时常用几何性质结合几何图形得到等量关系或不等关系，这样可以简化运算. §2 双曲线 一、双曲线的定义 1. 前提条件：平面内，一个动点M，两个顶点F1，F2，一个常数2a 2. 满足关系：||MF1|-|MF2||=2a 3. 限制条件：0<2a<| F1 F2| 4. 结论：满足上述关系和条件的动点M的轨迹叫作双曲线 5. 相关概念：两个顶点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离| F1 F2|叫作双曲线的焦距