第三章空间向量与立体几何知识点清单-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

新教材 北师大2019版 数学选择性必修第一册 第三章知识点清单 目录 第三章 空间向量与立体几何 　　§1 空间直角坐标系 　　§2 空间向量与向量运算 　　§3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 　　§4 向量在立体几何中的应用 　　§5 数学探究活动（一）：正方体截面探究 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第三章 空间向量与立体几何 §1 空间直角坐标系 一、空间直角坐标系 1. 过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. 点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面. x轴、y轴、z轴的方向通常符合右手螺旋法则. 二、点在空间直角坐标系中的坐标 1. 在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间建立了一一对应的关系：P↔(x，y，z). 三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标. 2. 特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示 点的位置 在x轴上 在y轴上 在z轴上 坐标表示 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 在xOy平面内 在yOz平面内 在zOx平面内 坐标表示 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) （1）设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点为P. （2）已知△ABC的三个顶点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心G的坐标为. 2 / 2 三、空间两点间的距离公式 1. 已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为 |PQ|=. 2. 特别地，空间任意一点P(x，y，z)到原点O的距离|OP|=. 3. 知识拓展     (1)点P(x，y，z)到坐标平面xOy的距离为|z|. (2)点P(x，y，z)到坐标平面yOz的距离为|x|. (3)点P(x，y，z)到坐标平面zOx的距离为|y|. (4)点P(x，y，z)到x轴的距离为. (5)点P(x，y，z)到y轴的距离为. (6)点P(x，y，z)到z轴的距离为. (7)已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标. (8)利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长之间的数量关系；判定三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，并确定其中两线段的长度之和等于第三条线段的长度. 四、确定空间中的点的坐标 1. 空间直角坐标系的构建 (1)建立空间直角坐标系遵循的原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性. (2)建立空间直角坐标系的常用策略： ①利用几何体中共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系； ②利用线面的垂直关系构建直角坐标系； ③利用面面的垂直关系构建直角坐标系. 2. 求点的坐标的常见方法 (1)投影法 看所求点分别在x轴、y轴、z轴的投影对应的数值. 如求点P的横坐标x，如图，可过点P作PP1⊥平面xOy于点P1，再过点P1作P1P2⊥x轴于点P2，点P2的横坐标即为x；或直接构造长方体OP，确定线段P1P3，P1P2，PP1的长，再注意对正负号的选取即可得点P的坐标. 一般地，当点在平面xOy、平面zOx、平面yOz内 或易确定点在x轴、y轴、z轴上的投影时均适合用投影法. (2)公式法 线段的中点、n等分点或三角形的重心等可用公式法求解. 若点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)， 则线段AB的中点的坐标为； 三角形ABC重心的坐标为； 当点P在线段AB上且AP=λPB时，P. (3)向量法(后续会学习) (4)几何法：把空间问题转化为平面问题，