第七章统计案例知识点清单-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

新教材 北师大2019版 数学选择性必修第一册 第七章知识点清单 目录 第七章 统计案例 　　§1 一元线性回归 　　§2 成对数据的线性相关性 　　§3 独立性检验问题 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第七章 统计案例 §1 一元线性回归 一、曲线拟合和直线拟合 1. 如果变量之间存在着某种关系，那么其散点图中的点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述. 这样近似描述的过程称为曲线拟合. 2. 若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合. 二、一元线性回归方程 1. 最小二乘法 　　对于给定的两个变量X和Y，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点. 现在希望找到一条直线Y=a+bX，使得对每一个xi(i=1，2，…，n)，由这个直线方程计算出来的值a+bxi与实际观测值yi的差异尽可能小. 为此，希望[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2达到最小. 换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小. 这个方法称为最小二乘法. 2. 线性回归方程 　　直线方程Y=+X称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线，， 是这个线性回归方程的系数. 　　其中， ===， =- 2 / 2 三、线性回归方程的求解与运用 1. 确定研究对象，明确哪个变量是X，哪个变量是Y. 2. 画出X和Y的散点图，观察它们之间是否存在线性关系. 3. 若数据呈线性关系，则选用线性回归方程. 4. 按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程的系数. 5. 对变量值的预测，即X取某值时，对Y的值进行预测. §2 成对数据的线性相关性 一、相关系数 1. 相关系数 一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)， 记r==，称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数. 2. 相关系数r的特征 (1)样本(线性)相关系数r的取值范围为[-1，1]. (2)|r|值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；|r|值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱. (3)当r>0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量正相关； 当r<0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量负相关； 当r=0时，此时称两个随机变量线性不相关. 二、两个随机变量相关性的判断 1. 利用散点图判断两个随机变量的相关性 (1)一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一、第三象限，对应的成对数据同号的居多；如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二、第四象限，对应的成对数据异号的居多. (2)如果散点落在一条直线附近，则认为这两个变量线性相关. 2. 利用相关系数判断两个随机变量的相关程度 　　相关系数r是从数值上来判断变量间的线性相关程度的，是定量分析. |r|刻画了样本点集中于某条直线的程度. |r|值越接近1，散点图中的样本点分布越接近一条直线，两个变量的线性相关程度越强. 三、非线性相关问题 1. 有时根据所测量的数据作出两个随机变量的散点图后，发现这些散点并非分布在某一条直线附近，而是在某一条曲线附近，此时，我们需要根据曲线的形状，选择适当的函数模型来拟合，再通过变量代换，利用线性回归模型得到两个变量间的非线性回归方程. 常见的非线性回归模型如下： 曲线方程 曲线(曲线的一部分) 变换公式 变换后的线性函数 Y=axb (幂函数曲线)   c=ln a， v=ln X， u=ln Y u=c+bv Y=aebX (指数曲线)   c=ln a， u=ln Y u=c+bX Y=a   c=ln a， v=， u=ln Y u=c+bv Y=a+bln X   v=lnX y=a+bv §3 独立性检验问题 一、独立性检验 1. 2×2列联表：设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2=；变量B：B1，B2=. 2×2列联表如下： A B B1 B2 总计 A1 a b a+b A2 c d c+d 总计 a+c b+d n=a+b+c+d 二、独立性检验的基本思想 1. 统计量χ2 χ2=，其中n=a+b+c+d. 2. 在变量A，B独立的前提下