第五章 复数 知识点总结梳理-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2019新教材北师大版 数学必修第二册 第五章知识点清单 目录 第五章 复数 　　§1 复数的概念及其几何意义 　　§2 复数的四则运算 　　§3 复数的三角表示 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第五章 复数 §1 复数的概念及其几何意义 一、复数的有关概念 1. 我们通过定义i2=-1引进一个新数i，来扩充数的范围，其中i叫作虚数单位. 形如a+bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Re z，b称为复数z的虚部，记作Im z. 二、复数的分类 1. 根据复数中a，b的取值不同，复数可以有以下的分类： 复数a+bi(a，b∈R) 2. 全体复数构成的集合称为复数集，记作C. 显然R⫋C. 3. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示：   三、复数相等 1. 两个复数a+bi与c+di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d. 2. 注意：两个实数可以比较大小，但是两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等. 四、复数的几何意义 1. 复平面 通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2. 复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的， 即复数z=a+bi   复平面内的点Z(a，b). (2)设复平面内的点Z(a，b)表示的复数为z=a+bi(a，b∈R)，连接OZ(O为坐标原点)，则复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的向量=(a，b)也是一一对应的， 即复数z=a+bi   平面向量. 3. 复数的模 (1)定义：向量的模称为复数z=a+bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a+bi|. 由向量模的定义可知， |z|=|a+bi|=. (2)几何意义：|z|=||，即点Z(a，b)到原点O的距离. 4. 共轭复数 若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数. 复数z的共轭复数用表示. 当z=a+bi(a，b∈R)时， =a-bi. 显然，|z|=||；z=a+bi(a，b∈R)的虚部b=0⇔z=. 五、对复数概念的理解 1. 判断一个实部或虚部含有参数的复数在什么情况下分别是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数的取值使复数有意义，然后根据复数分类为实数、虚数、纯虚数的充要条件求解. 设复数z=a+bi(a，b∈R)，则 (1)当且仅当b=0时，z为实数； (2)当且仅当a=b=0时，z为实数0； (3)当b≠0时，z为虚数； (4)当a=0且b≠0时，z为纯虚数； (5)当a≠0且b≠0时，z为非纯虚数. 2. 准确理解复数的概念是解题的基础，比如形如bi的复数不一定是纯虚数，只有满足限定条件b∈R且b≠0时，形如bi的复数才是纯虚数. 3. 对于复数z，明确其表示形式z=a+bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度把复数z分解成两部分去认识它，即用两个实数认识一个复数. 将复数问题转化为实数(实部、虚部)问题是解决复数问题的基本方法. 六、复数相等的充要条件的应用 复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是： (1)分别确定两个复数的实部与虚部； (2)利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程(组)求解. 七、复数的几何意义及其应用 1. 复数的两种几何意义 (1)复数z=a+bi(a，b∈R)可以用复平面内的一个点Z(a，b)表示. (2)复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的向量=(a，b)一一对应. 2. 复数的模 (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的计算公式求解. (2)复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离. 3. 常见复平面内点的集合的形式 (1)|z|=1表示复数z对应复平面内的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆. (2)|z-z1|=d(d>0)表示复数z对应复平面内的点的集合是以复数z1对应的点为圆心，d为半径的圆. (3)|z|<r(r>0)表示复数z对应复平面内的点的集合是以原点为