1.3 正方形的性质与判定（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

1.3 正方形的性质与判定（重难点） 【知识点一、正方形的定义】 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 【知识点二、正方形的性质】 1、具有四边形、平行四边形、菱形、矩形一切的性质； 2、矩形的四条边都相等，邻边垂直，四个角都是直角； 3、对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 4、正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴，对称中心是两条对角线的交点. 【知识点三、正方形的判定】 正方形的判定除定义外，判定思路有两条:或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)。 考点1 正方形性质的理解 【例1】（2023·湖南岳阳·统考一模）下是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（    ） A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出② 【变式1-1】（2023春·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中）以下说法不正确的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B．矩形对角线相等 C．正方形对角线互相垂直平分 D．菱形四条边相等 【变式1-2】（2023春·八年级单元测试）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（　　） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 【变式1-3】（2023春·安徽蚌埠·八年级校联考阶段练习）下列说法： 四边相等的四边形一定是菱形 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 对角线相等的四边形一定是矩形 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 其中正确的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-4】（2023春·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A．四边相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．对角线互相垂直 考点2 利用正方形的性质求值（角度、线段长、面积） 【例】（2023春·八年级单元测试）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（    ） A．60° B．65° C．75° D．80° 【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，E、F、H分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点G．若，则的度数为（    ） A．26° B．38° C．52° D．64° 【变式2】（2023春·江苏·八年级期中）如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，点F在DC的延长线上，连接AF交BC于点G，则∠FGC的度数为（　　） A．67.5° B．45° C．60° D．75° 【变式3】（2023秋·辽宁鞍山·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝CD，则∠BEC的度数为（　　） A．22.5° B．60° C．67.5° D．75° 【变式4】（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ）    A． B． C． D． 【例】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上一动点，则的最小值为（    ）． A．8 B． C． D．10 【变式2】（2023春·八年级单元测试）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校联考阶段练习）如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2023春·福建龙岩·八年级统考期中）如图，在正方形和正方形中，点G在上，，，H是的中点，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【例】（2023春·安徽合肥·八年级合肥市庐阳中学校考期中）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【变式1】（2023春·全国·八年级期中）如图以直角