1.1 菱形的性质与判定（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

1.1 菱形的性质与判定（重难点） 【知识点一、菱形的定义】 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【知识点二、菱形的性质】 1、具有平行四边形一切的性质； 2、四条边都相等； 3、两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 4、菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在的直线. 【知识点三、菱形的判定】 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3、四条边相等的四边形是菱形. 考点1 利用菱形的性质求角度 【例1】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　） A．28° B．52° C．62° D．72° 【变式1-1】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023春·山东德州·八年级校考期中）如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【变式1-3】（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，菱形的顶点在直线上，若，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【变式1-4】（2023春·全国·八年级专题练习）菱形的周长是它的高的4倍，则菱形中较大的一个角是(　　) A．100° B．120° C．135° D．150° 考点2 利用菱形的性质求线段长 【例2】（2023春·八年级单元测试）如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（  ） A． B． C． D．3 【变式2-1】（2023春·广东汕头·八年级校考期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【变式2-2】（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，点M在边BC上，且BM=1，点N是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，则PM+PN的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【变式2-3】（2023·全国·九年级假期作业）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为_________． 【变式2-4】（2023·陕西咸阳·校考一模）如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于_____． 考点3 利用菱形的性质求面积 【例3】（2023·广东汕头·校联考一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（　　） A．16 B．6 C．12 D．30 【变式3-1】（2023春·八年级单元测试）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：①∠BGD=120° ；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④．其中正确的结论有（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（2023·海南三亚·一模）如图，在菱形ABCD中，，，为等边三角形点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式3-3】（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，与，将沿所在直线翻折得，若，，则与菱形重叠部分（阴影部分）的面积为__． 【变式3-4】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知：边长为的菱形，过点O作两条夹角为的射线，分别交边，边于点M，N，连结，则下列命题：①S四边形OMFN，②的长度为定值，③的形状为等边三角形，的最小值为3．其中正确的有______（填序号） 考点4 利用菱形的性质求坐标 【例4】（2023·山东枣庄·统考三模）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·河南开封·河南大学附属中学校考二模）如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，