第十三章 轴对称 【方法技巧专题】 等腰三角形中常见辅助线的作法-（配套课件）【木牍教育·课时A计划】2023-2024学年八年级上册数学人教版（安徽）

RJ 数 学 8年级 上册 -- 【方法技巧专题】　等腰三角形中常见辅助线的作法 精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 【方法技巧专题】　 等腰三角形中常见辅助线的作法 -- 【方法技巧专题】　等腰三角形中常见辅助线的作法 精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 类型1　利用“三线合一”的性质作辅助线 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF. 略 -- 【方法技巧专题】　等腰三角形中常见辅助线的作法 精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD于点E.求证：∠ACE＝∠B＋∠ECD. 证明：延长CE交AB于点F. 易证△FEA≌△CEA， ∴∠ACE＝∠AFE. ∵∠AFE＝∠B＋∠ECD， ∴∠ACE＝∠B＋∠ECD. -- 【方法技巧专题】　等腰三角形中常见辅助线的作法 精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，过点D作DF⊥AB，交AC于点E，交BC的延长线于点F.求证：∠F＝∠BAC. -- 【方法技巧专题】　等腰三角形中常见辅助线的作法 精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 证明：过点A作AG⊥BC于点G， 则∠AGB＝90°，∴∠B＋∠BAG＝90°. ∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°， ∴∠B＋∠F＝90°，∴∠F＝∠BAG. ∵AB＝AC，AG⊥BC，∴∠BAG＝∠BAC，∴∠F＝∠BAC. -- 【方法技巧专题】　等腰三角形中常见辅助线的作法 精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 类型2　利用垂直平分线的性质作辅助线 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于点D.求证：CD＝2BD. -- 【方法技巧专题】　等腰三角形中常见辅助线的作法 精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 证明：连接AD. ∵直线MN是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠B＝30°， 又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝30°，∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝90°，∴CD＝2AD＝2BD. -- 【方法技巧专题】　等腰三角形中常见辅助线的作法 精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 类型3　利用平行线的性质作辅助线 5.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为点E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D.求DE的长. -- 【方法技巧专题】　等腰三角形中常见辅助线的作法 精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 解：过点P作PN∥BC交AC于点N. 易得∠APN＝∠PAN＝60°， ∴△PNA是等边三角形，∴PA＝PN. ∵PA＝CQ，∴PN＝CQ. 易证△PND≌△QCD，∴ND＝CD. ∵PE⊥AN，∴AE＝EN， ∴DE＝EN＋ND＝AE＋CD＝AC＝2. -- 【方法技巧专题】　等腰三角形中常见辅助线的作法 精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D. (1)如图1，求证：PD＝QD. (2)如图2，过点P作直线BC的垂线，垂足为点E.当点P，Q在移动的过程中，BE，ED，CD中是否存在长度为定值的线段?请说明理由. 图1　　 　　　图2 -- 【方法技巧专题】　等腰三角形中常见辅助线的作法 精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 解：(1)证明略. (2)ED的长度为定值. 理由：过点P作PF∥AC交BC于点F. 由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝EF. 由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD， ∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝BC， ∴ED的长度为定值. -- 【方法技巧专题】　等腰三角形中常见辅助线的作法 精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 类型4　利用倍角关系作辅助线 7.如图，∠ACB＝90°，D，E是AB上的两点，且AE＝AC，BD＝BC，EF⊥CD于点F. 求证：CF＝EF. -- 【方法技巧专题】　等腰三角形中常见辅助线的作法 精准备考用木牍 | 安徽名师编写，更懂安徽考情 证明：连接CE. ∵AE＝AC， ∴∠ACD＋∠ECF＝∠AEC＝∠BCE＋∠B.　① 同理，∠ECF＋∠BCE＝∠BDC＝∠ACD＋∠A.　② ①＋②，得2∠ECF＝∠A＋∠B. ∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠E