第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 第2课时 角的平分线的判定-（教案）【木牍教育·课时A计划】2023-2024学年八年级上册数学沪科版（安徽）

第2课时　角的平分线的判定 ◇教学目标◇ 1.使学生掌握角平分线定理及其逆定理，培养学生探索知识的能力. 2.使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等. 3.从事物特殊性入手，总结归纳事物的一般性.体现在研究问题时注意纯粹性与完备性，准确、全面地思考问题. 4.渗透点的集合的数学思想. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 角平分线的性质和判定；点到角的边的距离要强调垂直关系. 【教学难点】 分清文字命题中的题设(已知)和结论，掌握证明题格式；把角平分线看作点的集合. ◇教学过程◇ 一、情境导入 我们已经学习过角的平分线的概念，它有什么重要性质呢?怎样找到这个角的平分线? (1)有一张剪好的纸片(如图1)，怎样找到这个角的平分线?(引导学生回答) 　　图1　　　　　　图2　　　　　　图3 (2)大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线，如图2.如果我们把对折后的纸片继续折一次，然后把纸片展开，就会出现两条折痕，如图3中的PM和PN，不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等长的折痕我们可以找出无数对.由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其他的性质. 二、合作探究 定理1　角平分线上的点到角两边的距离相等. 题设：一个点在一个角的平分线上. 结论：它到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证：PD=PE. 证明：∵OC是∠AOB的平分线，(已知) ∴∠AOC=∠BOC.(角平分线的定义) ∵PD⊥OA，PE⊥OB，(已知) ∴∠PDO=∠PEO=90°.(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中， ∴△PDO≌△PEO.(AAS) ∴PD=PE.(全等三角形的对应边相等) 定理应用所具备的条件和定理的作用：条件有3个，分别是角的平分线、点在该平分线上和垂直距离，作用是证明线段相等. 如图，填写使BC=BD成立所需的条件　　　　　　　　　　.  猜想图中，由BC⊥AC于点C，BD⊥AD于点D，BC=BD，可以得到什么结论? 定理2　角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE，如图. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，(已知) ∴∠PDO=∠PEO=90°.(垂直的定义) 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO.(HL) ∴∠AOC=∠BOC.(全等三角形的对应角相等) ∴OC是∠AOB的平分线. ∴点P在∠AOB的平分线上. 由定理1，2可知：在一个角内，到角的两边的距离相等的点，都在这个角的平分线上；反过来，角的平分线上的点到角的两边距离相等.于是得到下面的结论： 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合. 典例　已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线CF相交于点P. 求证：AP平分∠BAC. [解析]　过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为点M，N，Q. ∵BE是∠ABC的平分线，点P在BE上，(已知) ∴PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等) 同理，PN=PM. ∴PN=PQ.(等量代换) ∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上) 这个例子说明：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. 三、板书设计 角的平分线的判定 1.角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. ◇教学反思◇ 　　学生通过自己动手操作、自己推导、自己发现，得到角平分线的性质定理及其逆定理，充分发挥了探究意识，体验并掌握了合作交流的学习方法，同时进一步锻炼了数学语言表达能力以及规范书写证明过程的能力. 1 立足安徽 精准备考 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $