专题4.6 隐零点问题（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题4.6 隐零点问题 【核心素养】 1.函数零点问题．主要考查判断函数的零点个数，以及由函数零点或方程的根求参数的值（范围），或者证明与函数零点相关的不等式，凸显数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养． 2.将函数、导数、方程与不等式相结合考查，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，也体现命题的创新性. 知识点一 解“隐零点”问题的一般思路 1.隐零点就是指一个函数 ，可以判断它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体是什么却无法计算或根本不需要计算，只需利用他的存在去解答题目. 2.在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法． 常考题型剖析 题型一：利用“隐零点”研究极（最）值问题 【典例分析】 例1-1.（2023春·四川遂宁·高二统考期末）已知函数在处的切线斜率为，，若在上恒成立，则能取到的最大正整数为 例1-2.（2019·全国·高考真题（理））已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【规律方法】 基本步骤： （1）判断有零点；（2）设出零点；（3）利用零点存在，建立方程、不等式等. 【变式训练】 变式1-1.（2022·安徽·合肥一六八中学高三阶段练习）已知函数，若在区间上有零点，则的值可以为（    ） A． B． C． D．1 变式1-2.（2023春·广东阳江·高二统考期末）若时，不等式恒成立，则整数的最大值为 . 题型二：利用“隐零点”确定参数取值范围 例2-1.（2023春·广东广州·高二统考期末）已知函数，，其中a为实数，e是自然对数的底数. (1)若时，证明：，； (2)若在上有唯一的极值点，求实数a的取值范围. 例2-2.设函数f(x)＝ex－ax－2. (1)求f(x)的单调区间； (2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值． 【规律方法】 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 【变式训练】 变式2-1.（2022·河南南阳·高三期中（理））若方程存在唯一实根，则实数的取值范围是_____. 变式2-2.（2022·甘肃·靖远县第四中学高三阶段练习（理））已知函数. (1)若是的极值点，求的单调区间； (2)若关于的方程恰有一个解，求a的取值范围. 题型三：利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题 【典例分析】 例3-1．（2023春·湖北武汉·高二武汉西藏中学校考期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 例3-2.（2023春·湖南邵阳·高二统考期末）已知函数. (1)讨论函数在定义域内的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 例3-3.（2023春·四川成都·高二期末）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若恒成立，求整数的最大值. 【规律方法】 1.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 2.含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；②构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值. 3.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 【变式训练】 变式3-1.（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知函数． (1)若有两个极值点，求的取值范围； (2)若，，求的取值范围． 变式3-2.（2022·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数，设，. (1)若在上有解，求的取值范围； (2)若，证明：当时，成立； (3)若恰有三个不同的根，证明：. 变式3-3.（2022·江苏常州·高三期中）已知函数，，． (1