奥数第八讲包含与排除（讲义）-六年级上册数学人教版

奥数第八讲包含与排除讲义2023-2024学年人教版数学六年级上册 要点全景（第一个板块） 集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。 在解答包含和排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，提高数量关系和逻辑关系。 名题巧解（第二个板块） 【例1】六年级一班在期中考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，班主任老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。两科都得“优”的有几人？ 【分析】从下图中我们能得出两种不同方法 【解答】17—（24—15）= 8（人） 15—（24—17）= 8（人） 15 + 17—24 = 8（人） 答：两科都得优的有8人。 【技巧点评】另外，根据“第一部分 + 第二部分 — 重叠部分 = 两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。 即时演练1： 五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？ 【例2】四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？ 【分析】根据题意可画图如下 此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。 【解答】方法一：37 + 26—21 = 42（人） 方法二：37—21 + 26 = 42（人） 方法三：37 +（26—21）= 42（人） 【技巧点评】 以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。 三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？ 我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系： 第一部分 + 第二部分 — 重叠部分 = 两部分之和 即时演练2：黄冈外语学校的外语教师中，每人至少懂得英语和日语的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少名外语教师？ 【例3】图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。这个班共有学生多少人？ 【分析】根据题意， 要求全班有多少人，除了知道有5人什么组都没参加外，还要求出参加课外小组的有多少人。 【解答】24 + 18—11 = 31（人） 31 + 5 = 36（人） 答：这个班共有学生36人。 【技巧点评】这个题与例2相比，多了一个已知条件，那就是“有5个人什么组都没参加”。如果按前面的画图方式，这5人无法在图上表示，所以我们可以这样画图。有了图后，数量关系已显而易见。 即时演练3： 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这个班共有学生多少人？ 【例4】某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？ 【分析】根据题意画图如下： 如果我们把三个集合圈看成三张纸片，参加两个组的部分是2层，参加三个组的部分是3层，要求至少参加一个组的人数，就是求三张纸片盖住桌面的大小，因此要从三组人数之和中减去重叠部分的人数 【解答】11 + 8 + 12—5—3—4 + 1 = 20（人） 答：至少参加一个组的有20人。 【技巧点评】第一部分+第二部分+第三部分-三个两两重叠部分+都重叠部分=至少参加一个组的人数。 即时演练4：五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项。其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又