专题1.4 数轴与动点经典题型（四大题型）-2023-2024学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题1.4 数轴与动点经典题型（四大题型） 重难点题型归纳 【题型1 最值问题】 【题型2 线段的和倍差问题】 【题型3 数轴与行程相遇综合问题】 【题型4 数轴上新定义问题】 满分必练 【题型1 最值问题】 【典例1】（2023•五华县校级开学）已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数． （1）填空：a＝　　，b＝　　，c＝　　； （2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）； （3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【变式1-1】（2022秋•广阳区校级期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示5和3的两点之间的距离是 　 ． ②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是 　　 ． ③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是 　 　． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于 　 　． （3）应用： ①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝　　． ②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝　　． ③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是 　　． ④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是 　 　． （4）拓展： 已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数． 【变式1-2】（2022秋•玉屏县期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣3|的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点的之间距离．因为|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|的几何意义是数轴上x所对应的点与﹣2所对应的点的之间距离． （1）发现问题：|x+2|+|x﹣3|的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点A，B，P分别表示数﹣2，3，x，AB＝5． ∵|x+2|+|x﹣3|的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝5，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞5， ∴|x+2|+|x﹣3|的最小值是5． （3）解决问题： ①|x﹣1|+|x+3|的最小值是 　　； ②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣4|＞7； ③当m为何值时，代数式|x+m|+|x﹣7|的最小值是6． 【变式1-3】（2022春•南谯区期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题： （1）数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是　 　　，数轴上表示x和﹣4的两点之间的距离是　 ； （2）数轴上表示x和1的两点之间的距离为5，则x表示的数为　　 ； （3）若x表示一个有理数，则|x+1|+|x﹣7|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【变式1-4】（2022春•南岗区校级期中）我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3﹣1|可表示为数轴上3和1这两点的距离，而|3+1|即|3﹣（﹣1）|则表示3和﹣1这两点的距离．式子|x﹣1|的几何意义是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣2所对应的点之间的距离．根据以上发现，试探索： （1）直接写则|8﹣（﹣2）|＝　　； （2）结合数轴，找出所有符合条件的整数x，|x﹣2|+|x+3|＝5的所有整数的和． （3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x+4|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由；如果没有，请说明理由． 【变式1-5】（2022秋•江岸区