专题12.4 全等模型专题：全等三角形中的常见五大解题模型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题12.4 全等模型专题：全等三角形中的常见五大解题模型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【解题模型一 四边形中构造全等三角形解题】 1 【解题模型二 一线三等角模型】 8 【解题模型三 三垂直模型】 15 【解题模型四 倍长中线模型】 23 【解题模型五 旋转模型】 30 【典型例题】 【解题模型一 四边形中构造全等三角形解题】 例题：（2023春·广东梅州·八年级校联考开学考试）已知如图，四边形中，，，求证：．    【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，． (1)若，，求四边形AECF的面积； (2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 2．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）已知：如图1，四边形中，平分，和都是直角．      (1)试说明：． (2)若将原题中的已知条件“和都是直角”改为“和互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：边和邻边的长度是否一定相等？请说明理由． 3．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF． (1)试说明：DE=DF： (2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论． (3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？ 【解题模型二 一线三等角模型】 例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：． 【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ． 【变式训练】 1．（2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）（1）问题发现：如图1，射线在的内部，点B、C分别在的边、上，且，若，求证：； （2）类比探究：如图 2，，且． （1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； （3）拓展延伸：如图3，在中，，．点E在边上，，点D、F在线段上，．若 的面积为，，求与的面积之比．    2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．    (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上． ①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由． ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件______，使①中的结论仍然成立； (2)如图3，若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由． 3．在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 【解题模型三 三垂直模型】 例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由． 问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由． 问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（2023春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）已知：，，，，垂足分别为D，E．    (1)如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由． ①线段CD和BE的数量关系是：； ②请写出线段，，之间的数量关系并证明． 解：①结论：． 理由：∵，， ∴， ∴，， ∴ （               ） 在ACD和CBE中， ， ∴，（            ） ∴． ②结论：． 理由：∵， ∴ ， ∵， ∴． (2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 2．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 3．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转