专题10 二次函数中的几何图形存在性问题（二）-【暑假预习课堂】2023年新九年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（人教版）

数学八年级下暑假预习专题训练 专题十 二次函数中的几何图形存在性问题（二） 【专题导航】 目录 【考点一 二次函数中直角三角形的存在性】.............................1 【考点二 二次函数中菱形的存在性】...................................3 【考点三 二次函数中等腰直角三角形存在性】...........................6 【聚焦考点1】直角三角形的存在性 1、 构造直角三角形的一般思路: 构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆. 2、 动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例 1、 代数法 （1）列出A、B、C的坐标，动点用参数表示； （2）列出线段AB、AC、BC长度的平方； （3）分类列方程：①，②，③； 2、几何法 （用相似三角形，暂略） 当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究： 当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似（略）③勾股定理； 【典例剖析1】 【典例1-1】如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【典例1-2】在平面直角坐标平面内，O为原点，二次函数的图像经过点A（，0）和点B（0，3），顶点为P． （1）求二次函数解析式及点P的坐标； （2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标． 针对训练1 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（，0）、B（4，0）、C（0，2）．点D是点C关于原点的对称点，联结BD，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为（m，0），过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点E在线段OB上运动时，直线l交BD于点Q，当四边形CDQP是平行四边形时，求m的值； （3）是否存在点P，使是不以BD为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣5与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴l为直线x＝2． （1）求该抛物线的表达式． （2）在对称轴l上是否存在点P，使△CPB为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【能力提升1】 【提升1-1】在平面直角坐标系中，点A、B，C的坐标分别为（0，8），（﹣2，0），（4，0）． （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式及该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）设点P（m，t）是（1）中所求抛物线对称轴上的一点，求直线BP的解析式及BP与抛物线的另一交点Q的坐标（用含t的式子表示）； （3）当t为何值时，？ （4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【聚焦考点2】 菱形的存在性 菱形作为一种特殊的平行四边形，可以从以下几种方式得到： （1）有一组邻边相等的平行四边形菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边都相等的四边形是菱形 解决问题的方法也可有如下两种： 思路1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组． 思路2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，平移再确定第4个点． 【典例剖析2】 【典例2-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E． （1）求抛物线的解析式； （2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 针对训练2 【变式2-1】综合与探究 如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式． （2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点