3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时）课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1函数的单调性与最大（小）值 （第一课时） 新课引入 观察下列三幅函数图像，能否尝试用语言描述它们的变化趋势？ 在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大 (或减小) 的性质，这一性质叫做函数的单调性。下面进一步用符号语言刻画这种性质. 函数的单调性 二次函数 f(x)=x2的单调性 图象在 y 轴左侧部分从左到右是下降的. 当x<0时，y随x的增大而减小 用符号语言描述，就是任意取x1，x2∈(-∞，0]，得到 f(x1)=x12，f(x2)=x22,那么当x1<x2时，有 f(x1)>f(x2). 这时我们就说函数f(x)=x2在区间(-∞，0]上是单调递减的. 函数的单调性 二次函数 f(x)=x2的单调性 图象在 y 轴右侧部分从左到右是上升的. 当x>0时，y随x的增大而增大 用符号语言描述，就是任意取x1，x2∈[0，+∞)，得到 f(x1)=x12，f(x2)=x22,那么当x1<x2时，有 f(x1)<f(x2). 这时我们就说函数f(x)=x2在区间(-∞，0]上是单调递增的. 函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D∈I: 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D 上单调递增(图3.2-3(1)). 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 (increasing function). 函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D∈I: 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D 上单调递减(图3.2-3(2)). 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 (decreasing function). 如果函数y=f(x)在间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这区间具有(严格的)单调性，区 D叫做y=f(x)的单调区间. 函数的单调性 例题巩固 例1 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性. 分类讨论 例题巩固 例2 物理学中的玻意耳定律力= (k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体当其体积V减小时，压强将增大.试对此用函数的单调性证明. 例题巩固 例3 根据定义证明函数 在区间(1，+∞)上单调递增 例题巩固 例题巩固 例题巩固 例题巩固 例题巩固 例题巩固 例题巩固 例题巩固 例题巩固 课堂小结 学生回顾思考知识点 教师补充归纳总结 布置作业 课时作业3.2.1（1） 谢谢！ 布置作业 [提示]　不是，如f(x)＝3. [微思考] 1．在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？ [提示]　不能，不能用特殊代替一般． 2．所有的函数在定义域上都具有单调性吗？ [微判断] (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．(　　) (2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3).(　　) (3)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数．(　　) (4)若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ [微练习] 1.(多选)函数y＝f(x)在区间[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是(　　) A．[－2，0] B．[0，1] C．[－2，1] D．[－1，1] [答案]　AB [答案]　(0，＋∞) 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　　) A．y＝－ eq \f(1,x) B．y＝x C．y＝x2 D．y＝1－x [答案]　D 3．若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为________． 探究点一　函数单调性的判定与证明 [例1]　已知函数f(x)＝ eq \f(2－x,x＋1) ，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数． [证明]　 x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝ eq \f(2－x1,x1＋1) － eq \f(2－x2,x2＋1) ＝ eq \f(3（x2－x1）,（x1＋1）（x2＋1）) . 因为x2>x1>－1，所以x2－x1>0，(x1＋1)(x2＋1)>0， 因此f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数． 探究点二　求函数的单调区间 [例2]　已知函数f(x)＝x