第01讲 探索勾股定理、一定是直角三角形吗（知识+题型 重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

第01讲 探索勾股定理、一定是直角三角形吗（重难点） 【知识点一、勾股定理】 直角三角形两直角边的 等于斜边的 . 如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么 . 说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）勾股定理的一些变式：，， . 【知识点二、勾股定理的证明】 1．（方法一）将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 　2．（方法二）将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 3．（方法三）如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 【知识点三、勾股数】 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 注意：（1）熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… （2）如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 【知识点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形】 第一步：确定最大边（如）. 第二步：验证与是否具有相等关系. 若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形； 若 ，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【知识点五、勾股定理的逆定理】 如果三角形的三条边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 题型一 勾股定理的简单应用 例1．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为 ． 【变式训练1-1】、如图，中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别记为，，以为斜边向外作等腰，面积记为，若，则 ．（用含有的式子表示） 【变式训练1-2】、如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和，已知，且，则的长为 ． 题型二 勾股定理的证明 例2．我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在中，，若，请你利用这个图形说明． 【变式训练2-1】、如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理． 【变式训练2-2】、下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明． 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 已知：如图，直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． 求证：． 方法一 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 方法二 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 题型三 勾股定理与折叠问题 例3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ） A． B．3 C． D． 【变式训练3-1】、如图是⼀张直角三角形纸⽚，，，，将折叠使点B和点A重合，折痕为，则的长为（  ） A．9 B．41 C．42 D．44 【变式训练3-2】、如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为（    ） A． B． C． D． 题型四 勾股数 例4．．下列各组数据为勾股数的是（    ） A．4，5，6 B． C． D． 【变式训练4-1】、下面四组数中是勾股数的有（ ） ①，，；②，，；③，，；④，，． A．组 B．组 C．组 D．组 【变式训练4-2】、《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 题型五 直角三角形的判定 例5．在下列由线段，，组成的三角形中，是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练5-1】、如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A．﹣1﹣ B．1﹣ C．﹣ D．﹣1+ 【变式训练5-2】、《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一