第15章 轴对称图形与等腰三角形15.4 第2课时 角的平分线的判定 -【木牍教育】2023-2024学年八年级数学上册同步教学优质课件（沪科版2012）

数 学 HK 八年级 上册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 15.4 角的平分线 沪科版八年级上册 第十五章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 第二课时 角的平分线的判定 前 言 学习目标及重难点 1.探索角平分线的逆定理;（重点） 2.通过探索角平分线逆定理的过程，体会这个定理的作用，增强几何空间意识.（难点） A B C F E M P Q N 课时A计划 课程导入 如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，则点P与∠AOB有什么特殊关系？ 课时A计划 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 思考：交换角平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么新结论，这个新结论正确吗？ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 思考：这个结论正确吗？ 逆 命 题 课程讲授 新课推进 探索 1：角平分线的判定 课时A计划 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 课程讲授 新课推进 证明猜想 课时A计划 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 课程讲授 新课推进 课时A计划 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B 课程讲授 新课推进 例1 课时A计划 课程讲授 新课推进 O N M A B P 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上. 解：如图所示. 课时A计划 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 课程讲授 新课推进 探索 2：三角形的内角平分线 课时A计划 课程讲授 新课推进 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 课时A计划 课程讲授 新课推进 已知：如图所示，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相较于点P. 求证：AP平分∠BAC. A B C F E M P Q N 例2 课时A计划 课程讲授 新课推进 A B C F E M 证明：过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC， PQ⊥AB，垂足分别为点M,N,Q. P Q N ∵ BE是∠B的平分线，点P在BE上，（已知） ∴ PQ=PM（角平分线上的点到角两边的距离相等） 同理， PN=PM. ∴ PN=PQ（等量代换） ∴ AP平分∠BAC.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上） 课时A计划 课程讲授 新课推进 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，AC的距离相等. 证明：过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC, 垂足分别为D,E,F. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE.同理,PE=PF. ∴PD=PE=PF, 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等. 例3 课时A计划 M E N A B C P O D 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. 方法总结：不存在垂线段———构造应用 12 课程讲授 新课推进 例4 课时A计划 课程讲授 新课推进 M E N A B C P O D (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 解：连接OC =AB·OE+BC·ON+AC·OM S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB =OE(AB+BC+AC) =×4×32=64 课时A计划 课程讲授 新课推进 随堂小练习 1.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA