1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1.掌握建立空间直角坐标系的方法。 2.掌握空间向量的坐标表示方法及其运算。 3.初步感受并学会运用空间向量建系和坐标运算来解决几何中平行、垂直、距离等问题。 4.核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算 一、复习导入 你类比平面直角坐标系，你能想到空间直角坐标系包括呢些要素吗？这些要素应满足什么条件？ 坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系 三条互相垂直的坐标轴 单位长度 坐标原点O 坐标原点O 互相垂直的两条坐标轴x轴和y轴 单位长度 坐标轴 单位长度 原点 二、新课讲授 1、空间直角坐标系 平面直角坐标系 平面直角坐标系 在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j} 以O为原点，分别以i，j的方向为正方向，以它们的长为单位长，度建立两条数轴;x轴 、y轴 以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴;x轴 、y轴、z轴 它们是两两互相垂直的单位向量 问题1：你能否类比平面直角坐标系的定义，给出空间直角坐标轴的定义呢？ O x y 叫做i，j，k 在空间选定一点O和三个基向量， 4 空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长度单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点， i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面，它们把空间分成八个部分. z y x O j i k 斜二测画法 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 今后，我们建立的直角坐标系大多为右手直角坐标系。 6 问题2：在空间直角坐标系中如何定义的坐标呢？ 平面直角坐标系 空间直角坐标系 取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x，y，使a=xi+yj.我们把有序数对（x，y）叫做a的坐标，记作a=（x，y） 取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i，j，k为基底，由空间向量基本定理，存在唯一有序数组（x，y，z），使得=（x，y，z） 定义：在单位正交基{i，j，k}下与向量对应的有序数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标， z叫做点A的竖坐标。 问题3：对于给的的向量a又该如何定义它的坐标呢？ a=xi+yj+zk a=（x，y，z） 注:(x,y,z)既可以表示向量，也可表示点 例1 如图，在长方体OABC－D’ A‘B’C‘中，OA=3,OC=4,OD’=2，以为单位正交基底，建立如图的空间直角坐标系Oxyz. （1）写出D’,C,A’,B’四点的坐标； （2）写出向量, , , 坐标. 小结:如何求空间点或向量的坐标呢? 空间点或向量的坐标 将点或向量用单位正交基底{i，j，k}来表示，它们的系数就是点或向量的坐标 确定点对应的向量在各个轴上的投影向量，根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标 几何直观 空间向量基本定理 2、空间向量运算的坐标表示 问题1：你能类比平面向量的坐标运算，得到空间向量的坐标表示并给出证明吗？ （1）平面向量有哪些运算？ 加法、减法、数乘、数量积 （2）这些运算的坐标表示是什么？ 平面向量运算的坐标表示 设=(, ), + • 你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量的坐标表示吗？ 平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 设=(, ), + • 设=(, , ), + • 下面我们以证明空间向量数量积运算的坐标表示为例. 设{， ， }为空间的一个单位正交基底， 则= + , 所以• =( + )• (） = • + •+ •+ • + • + • + • + •+ • 因为 • = •=1， •= • = • =0 所以 • 平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 设=(, ), + • 设=(, , ), + • A=(, ), = A=(, ), = 问题2：平面向量的坐标运算可以解决平行、垂直及距离等问题，你能类比得到空间向量的坐标运算，是如何来刻画空间向量的平行、垂直及距离吗？ 平面向量的特殊位置关系 空间向量的特殊位置关系 设=(, , ), 设=(, ), 当≠0